(Désolé pour le double post)
J'ai finalement réussi à résoudre mon problème. Voici ma solution, corrigez moi si j'ai faux:
Soit
$mathjax$V_n = U_{2n}$mathjax$
et
$mathjax$W_n = U_{2n+1}$mathjax$
On a :
$mathjax$\forall n≥1$mathjax$
$mathjax$V_n = \pi^{2n}-2n(2n-1)V_{n-1}$mathjax$
Montrons par récurrence forte que
$mathjax$(V_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$mathjax$
est croissante (ie :
$mathjax$\forall n\in\mathbb{N}^*, V_n≥V_{n-1}$mathjax$
)
Initialisation :
$mathjax$V_1 = \pi^2-4>2$mathjax$
La propriété est initialisée.
Hérédité : Soit
$mathjax$n\in\mathbb{N}^*$mathjax$
. Supposons que
$mathjax$V_{n-1}≥V_{n-2}≥...≥V_0=2$mathjax$
.
On sait que
$mathjax$V_n-V_{n-1} = \pi^{2n}-2n(2n-1)V_{n-1}-V_{n-1} = \pi^{2n}-(2n(2n-1)+1)V_{n-1}$mathjax$
Or, pour
$mathjax$n≥1$mathjax$
,
$mathjax$\pi^{2n}≥9$mathjax$
et
$mathjax$(2n(2n-1)+1)V_{n-1}≥6$mathjax$
Donc,
$mathjax$V_n≥V_{n-1}$mathjax$
Ainsi, par théorème de la récurrence, la suite
$mathjax$(V_n)$mathjax$
est croissante.
De plus, comme
$mathjax$V_n≥2$mathjax$
, on peut écrire :
$mathjax$\frac{V_n}{2n(2n-1)V_{n-1}} = \frac{\pi^{2n}}{2n(2n-1)V_{n-1}}-1$mathjax$
Supposons que
$mathjax$(V_n)$mathjax$
possède une limite réelle notée
$mathjax$l$mathjax$
. On sait que
$mathjax$l$mathjax$
est non nulle car
$mathjax$(V_n)$mathjax$
est croissante et
$mathjax$V_n > 0$mathjax$
.
Par passage à la limite, on en déduit:
$mathjax$0 = +\infty$mathjax$
absurde.
Donc,
$mathjax$(V_n)$mathjax$
diverge vers
$mathjax$+\infty$mathjax$
On procède de même pour
$mathjax$W_n$mathjax$
et on en déduite que
$mathjax$U_n$mathjax$
diverge vers
$mathjax$+\infty$mathjax$
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