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Posted: **31 Dec 2014, 19:01**

Bonjour à tous!
Je poste cet exercice et j'espère que certains pourront m'aider :

On considère la suite définie par :

$mathjax$U_0 = 2 ; U_1 = \pi$mathjax$

$mathjax$U_{n} = \pi^{n}-n(n-1)U_{n-2}$mathjax$

La question est de montrer que cette suite diverge vers

$mathjax$+\infty$mathjax$

Ma démarche serait de montrer que cette suite est croissante puis qu'elle n'admet pas de majorant (par l'absurde).

Si vous êtes d'accord avec celle-ci, pouvez-vous me dire comment montrer que cette suite est croissante, sinon, proposez une autre démarche.

Merci d'avance

Posted: **31 Dec 2014, 20:25**

(Désolé pour le double post)
J'ai finalement réussi à résoudre mon problème. Voici ma solution, corrigez moi si j'ai faux:

Soit

$mathjax$V_n = U_{2n}$mathjax$

et

$mathjax$W_n = U_{2n+1}$mathjax$

On a :

$mathjax$\forall n≥1$mathjax$

$mathjax$V_n = \pi^{2n}-2n(2n-1)V_{n-1}$mathjax$

Montrons par récurrence forte que

$mathjax$(V_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$mathjax$

est croissante (ie :

$mathjax$\forall n\in\mathbb{N}^*, V_n≥V_{n-1}$mathjax$

)
Initialisation :

$mathjax$V_1 = \pi^2-4>2$mathjax$

La propriété est initialisée.
Hérédité : Soit

$mathjax$n\in\mathbb{N}^*$mathjax$

. Supposons que

$mathjax$V_{n-1}≥V_{n-2}≥...≥V_0=2$mathjax$

.
On sait que

$mathjax$V_n-V_{n-1} = \pi^{2n}-2n(2n-1)V_{n-1}-V_{n-1} = \pi^{2n}-(2n(2n-1)+1)V_{n-1}$mathjax$

Or, pour

$mathjax$n≥1$mathjax$

,

$mathjax$\pi^{2n}≥9$mathjax$

et

$mathjax$(2n(2n-1)+1)V_{n-1}≥6$mathjax$

Donc,

$mathjax$V_n≥V_{n-1}$mathjax$

Ainsi, par théorème de la récurrence, la suite

$mathjax$(V_n)$mathjax$

est croissante.
De plus, comme

$mathjax$V_n≥2$mathjax$

, on peut écrire :

$mathjax$\frac{V_n}{2n(2n-1)V_{n-1}} = \frac{\pi^{2n}}{2n(2n-1)V_{n-1}}-1$mathjax$

Supposons que

$mathjax$(V_n)$mathjax$

possède une limite réelle notée

$mathjax$l$mathjax$

. On sait que

$mathjax$l$mathjax$

est non nulle car

$mathjax$(V_n)$mathjax$

est croissante et

$mathjax$V_n > 0$mathjax$

.
Par passage à la limite, on en déduit:

$mathjax$0 = +\infty$mathjax$

absurde.

Donc,

$mathjax$(V_n)$mathjax$

diverge vers

$mathjax$+\infty$mathjax$

On procède de même pour

$mathjax$W_n$mathjax$

et on en déduite que

$mathjax$U_n$mathjax$

diverge vers

$mathjax$+\infty$mathjax$

Posted: **02 Jan 2015, 15:47**

Je confirme que ton raisonnement est doublement faux !
Premièrement, dans ton hérédité, tu ne peux pas conclure "Donc

$mathjax$V_n\geq V_{n-1}$mathjax$

" de ce qui précède.
Deuxièmement, tu ne peux pas non plus conclure que la suite (Un) est croissante en sachant que les suites (Vn) et (Wn) le sont. (contre-exemple : prendre (U_n) = ((-1)^n) )

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Montrer qu'une suite tend vers l'infini

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