Problème autour des cercles

[scientifix]

Bonjour à tous !!
J'ai besoin de votre aide pour résoudre le problème suivant :
Je dispose d'un arc de cercle et de sa corde dont les longueur sont connues (on peut appeler la longueur de l'arc "c" et celle de la corde "l").
La question est la suivante : quel est le rayon du cercle ?
Le résultat devra être donné sous forme exacte.

Merci de votre aide !!

Ma solution:
Le rayon du cercle est la solution de l'équation c = 2R*arcsin(l/2R) de variable R et où l et c sont les longueurs mesurées.
Malheureusement je ne peux pas obtenir de valeur exacte comme demandé ...

[Adriweb]

Le rayon du cercle est la solution de l'équation c = 2R*arcsin(l/2R) de variable R et où l et c sont les longueurs mesurées.
Malheureusement je ne peux pas obtenir de valeur exacte comme demandé ...

Pourquoi pas ?
Quelles sont les mesures dans ton cas?

[scientifix]

Je suis parti sur l'idée que sin(θ /2)=l/2R ("θ" est l'angle formé par deux rayons interceptant l'arc connu, "l" est la longueur de la corde er "R" le rayon)
En résolvant l'équation pour θ on obtient : θ = 2arcsin(l/2R) [4pi] ou θ = 2(pi - arcsin(l/2R)) [4pi]
Pour la longueur de l'arc on utilise c = Rθ
On remplace et on garde l'équation c = 2R*arcsin(l/2R)
Je n'ai pas de mesures particulaires pour l'arc et la corde, je dois juste trouver un moyen de calculer le rayon du cercle de façon exacte grâce à ces données ... ce que mon équation ne permet pas

[Bisam]

Serait-ce le fameux problème de la chèvre ?
On ne peut pas exprimer la solution autrement que comme la racine d'une équation non algébrique.

[scientifix]

Merci Bisam J'ai fait remarqué à mon prof de maths qu'aucune solution sous forme de valeur exacte ne peut être obtenue
Peux tu écrire la fameuse "racine d'une équation non algébrique" ? Ca serait super sympa (ce problème m'intéresse beaucoup )
Merci d'avance !!

[Lu_Lu54]

Serait-ce le fameux problème de la chèvre ?

Tout ce qui parle de caprinae ça t'intéresse

[Bisam]

Bon, j'avoue, je n'avais pas lu le premier post, et j'avais seulement répondu en me fiant à l'équation donnée, dont la solution ressemblait à un problème que je connaissais (celui de la chèvre dont je parlais) mais qui n'a pas grand chose à voir avec celui-ci.

Cependant, ma réponse reste essentiellement valable : il n'y a pas de solution exacte autre que de dire : "R est l'unique solution de l'équation

$mathjax$\ell=2R \sin \left(\frac{c}{2R}\right)$mathjax$

" puisque cette équation ne peut pas se résoudre de manière exacte (ce n'est pas une équation polynomiale, également appelée algébrique), sauf si c et l sont dans des rapports très spécifiques...

Mais justement, cela permet d'offrir finalement une solution exacte, si on accepte d'utiliser la réciproque non explicite d'une fonction dont on a prouvé qu'elle est bijective.
Voici comment faire :
1) Si t est le demi-angle interceptant l'arc c, alors

$mathjax$c=2Rt$mathjax$

et

$mathjax$\ell=2R \sin(t)$mathjax$

ainsi

$mathjax$\frac{\ell}{c} = \frac{\sin(t)}{t}$mathjax$

.
2) Si on la prolonge par continuité en t=0 par la valeur 1, la fonction

$mathjax$g:t\mapsto \frac{\sin(t)}{t}$mathjax$

réalise une bijection de

$mathjax$[0,\pi]$mathjax$

dans

$mathjax$[0,1]$mathjax$

.
3) À l'aide de la réciproque de cette bijection, on peut exprimer

$mathjax$R=\frac{c}{2}g^{-1} \left(\frac{\ell}{c}\right)$mathjax$

, ce qui fournit bel et bien une solution "exacte"... même si on ne peut la calculer grâce à cette formule.

[scientifix]

Un grand merci pour ta réponse détaillée !! C'est toujours sympa d'avoir l'avis d'un professionnel