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Correction algo exercice n°5 Obligatoire (suites + algo) du sujet de Maths du BAC S 2015 en Polynésie.

Question A)1)
Il s'agit de calculer la somme des premiers termes d'une suite (v_n) définie à partir du rang n=1.
Nous commençons donc par initialiser la variable v prenant la valeur du terme de la suite à v₁=ln(2), et la variable S destinée à recevoir la somme à v₁ :

Code: Select all

v prend la valeur ln(2)
S prend la valeur v

Comme le terme v₁ a déjà été sommé, il ne reste plus qu'à taiter n-1 termes : v₂ jusqu'à v_n. On peut donc prendre 2 et n comme bornes de la boucle Pour :

Code: Select all

Pour k variant de 2 à n faire
   ...
FinPour

Enfin, au sein de la boucle Pour, il reste à effectuer l'affectation récurrente permettant d'obtenir le terme suivant, et à le rajouter à la somme :

Code: Select all

v prend la valeur ln(2-exp(-v))
S prend la valeur s+v

Question A)2)
La question fournissant un tableau de valeurs produit par l'algorithme, on peut programmer ce dernier sur notre calculatrice graphique afin de vérifier sa correction :

Algorithme

Programme

Code: Select all Variables :    n, k entiers    S, v réels Initialisation :    Saisir la valeur de n    v prend la valeur ln(2)    S prend la valeur v Traitement :    Pour k variant de 2 à n faire    |   v prend la valeur ln(2-exp(-v))    |   S prend la valeur S+v    Fin du tant que    Afficher S

TI- 82/83/84 (Français) TI- 82/83/84 (Anglais) TI- Nspire 89/92/V200 Casio Graph Prizm/fx-CG Casio Classpad fx-CP HP Prime 39GII Code: Select all Prompt N ln(2)→V V→S For(K,2,N    ln(2-e^(-V))→V    S+V→S End arrondir(S,1 Code: Select all Prompt N ln(2)→V V→S For(K,2,N    ln(2-e^(-V))→V    S+V→S End round(S,1 Code: Select all Define poly2015s(n)= Func    Local v,s,k    ln(2)→v    v→s    For k,2,n       ln(2-exp(-v))→v       s+v→s    EndFor    Return s EndFunc Code: Select all ?→N ln 2→V V→S For 2→K To N    ln (2-e^-V)→V    S+V→S Next S Code: Select all Input n ln(2)⇒v v⇒s For 2⇒k To n    ln(2-e^(-v))⇒v    s+v⇒s Next Print s Code: Select all EXPORT poly15s(N) BEGIN    V:=LN(2);    S:=V;    FOR K FROM 2 TO N DO       V:=LN(2-e^(-V));       S:=S+V;    END;    ROUND(S,1); END;

Le tableau de valeurs fourni permet certes de conjecturer que la suite (S_n) est croissante, et que sa croissance est de plus en plus faible.
Toutefois, il ne permet pas de constater de convergence. On peut donc conjecturer que la suite (S_n) diverge vers +∞.