Correction exo 4 (algo) BAC S 2015 (France - juin 2015)

[critor]

Correction de l'exercice 4 (fonctions + algorithme) du sujet de BAC S de France juin 2015.


Partie 1 - Question 1) :

$mathjax$\displaystyle{f'(x)=(x+1)^\prime \ln(x+1)+(x+1)\left(\ln(x+1)\right)^\prime-3\\\phantom{f'(x)}=1\cdot \ln(x+1)+(x+1)\times \dfrac{1}{x+1}-3\\
\phantom{f'(x)}=\ln(x+1)+\dfrac{x+1}{x+1}-3\\
\phantom{f'(x)}=\ln(x+1)+1-3\\
\phantom{f'(x)}=\ln(x+1)-2}$mathjax$

Partie 1 - Question 2) :

$mathjax$\displaystyle{f'(x)≥0\Leftrightarrow \ln(x+1)-2≥0\\
\phantom{f'(x)≥0}\Leftrightarrow \ln(x+1)≥2\\
\phantom{f'(x)≥0}\Leftrightarrow \mathrm{e}^{\ln(x+1)}≥\mathrm{e}^2 (*)\\
\phantom{f'(x)≥0}\Leftrightarrow x+1≥\mathrm{e}^2\\
\phantom{f'(x)≥0}\Leftrightarrow x≥\mathrm{e}^2-1}$mathjax$

Or,

$mathjax$\displaystyle{\mathrm{e}^2-1\approx 6,4}$mathjax$

.
(*) car la fonction exponentielle est croissante

De plus,

$mathjax$\displaystyle{f(0)=(0+1)\ln(0+1)-3\times 0+7\\
\phantom{f(0)}=1 \ln(1)-0+7\\
\phantom{f(0)}=0+7\\
\phantom{f(0)}=7}$mathjax$

et

$mathjax$\displaystyle{f(20)=(20+1)\ln(20+1)-3\times 20+7\\
\phantom{f(20)}=21 \ln(21)-60+7\\
\phantom{f(20)}=21 \ln(21)-53}$mathjax$

et

$mathjax$\displaystyle{f\left(\mathrm{e}^2-1\right)=(\mathrm{e}^2-1+1)\ln(\mathrm{e}^2-1+1)-3\left(\mathrm{e}^2-1\right)+7\\
\phantom{f\left(\mathrm{e}^2-1\right)}=\mathrm{e}^2\ln(\mathrm{e}^2)-3\mathrm{e}^2+3+7\\
\phantom{f\left(\mathrm{e}^2-1\right)}=\mathrm{e}^2\times 2-3\mathrm{e}^2+10\\
\phantom{f\left(\mathrm{e}^2-1\right)}=-\mathrm{e}^2+10}$mathjax$

Donc :


Partie 1 - Question 3) :

$mathjax$\displaystyle{f'(0)=\ln(0+1)-2\\
\phantom{f'(0)}=\ln(1)-2\\
\phantom{f'(0)}=0-2\\
\phantom{f'(0)}=-2}$mathjax$

L'inclinaison au point B est donc de 2.


Partie 1 - Question 4) :
On remarque que

$mathjax$\displaystyle{f(x)=g'(x)-3x+7}$mathjax$

Une primitive de f est donc donnée par

$mathjax$\displaystyle{F(x)=g(x)-\dfrac{3}{2}x^2+7x\\
\phantom{F(x)}=\dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln(x+1)-\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}x^2+7x\\
\phantom{F(x)}=\dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln(x+1)-\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{6}{4}x^2+\dfrac{14}{2}x\\
\phantom{F(x)}=\dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln(x+1)-\dfrac{7}{4}x^2+\dfrac{13}{2}x}$mathjax$

Partie 2 - Question 1) :
La hauteur du point le plus bas est

$mathjax$\displaystyle{f(\mathrm{e}^2-1)=-\mathrm{e}^2+10\\
\phantom{f(\mathrm{e}^2-1)}=10-\mathrm{e}^2\\
\phantom{f(\mathrm{e}^2-1)}\approx 2,6}$mathjax$

.

D'autre part,

$mathjax$\displaystyle{f(0)=7}$mathjax$

et

$mathjax$\displaystyle{f(20)=21 \ln(21)-53\\
\phantom{f(\mathrm{e}^2-1)}\approx 10,9}$mathjax$

.
La hauteur du point le plus haut est donc

$mathjax$\displaystyle{f(20)\approx 10,9}$mathjax$

.

Par conséquent

$mathjax$\displaystyle{f(20)-f(0)\approx 8,3}$mathjax$

.

Donc P1 est vraie : la différence est f(20)-f(0) est au moins égale à 8 mètres.

$mathjax$\displaystyle{f'(20)=\ln(20+1)-2\\
\phantom{f'(20)}=\ln(21)-2\\
\phantom{f'(20)}\approx 1,04}$mathjax$

Donc P2 est vraie : l'inclinaison de 2 de la piste en B est presque deux fois plus grande qu'en C.



Partie 2 - Question 2) :
Calculons l'aire des quatre faces latérales :

$mathjax$\displaystyle{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}=\int_0^{20} f(x) \, \mathrm{d}x\\
\phantom{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}}=\left[F(x)\right]_0^{20}\\
\phantom{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}}=\left[\dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln(x+1)-\dfrac{7}{4}x^2+\dfrac{13}{2}x\right]_0^{20}\\
\phantom{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}}=\dfrac{1}{2}(20+1)^2\ln(20+1)-\dfrac{7}{4}20^2+\dfrac{13}{2}20-\left(\dfrac{1}{2}(0+1)^2\ln(0+1)-\dfrac{7}{4}0^2+\dfrac{13}{2}0\right)\\
\phantom{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}}=\dfrac{1}{2}21^2\ln(21)-\dfrac{7}{4}400+13\times 10-\left(\dfrac{1}{2}1^2\ln(1)-\dfrac{7}{4}0+0\right)\\
\phantom{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}}=\dfrac{1}{2}441\ln(21)-7\times 100+130-\left(\dfrac{1}{2}1\times 0-0\right)\\
\phantom{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}}=\dfrac{1}{2}441\ln(21)-700+130-0\\
\phantom{A_{ODCB}=A_{AD'C'B'}}=\dfrac{1}{2}441\ln(21)-570}$mathjax$

OAB'B étant un rectangle,

$mathjax$\displaystyle{A_{OAB'B}=OA\times OB\\
\phantom{A_{OAB'B}}=10\times f(0)\\
\phantom{A_{OAB'B}}=10\times 7\\
\phantom{A_{OAB'B}}=70}$mathjax$

OD'C'C étant un rectangle,

$mathjax$\displaystyle{A_{OD'C'C}=DD'\times DC\\
\phantom{A_{OD'C'C}}=10\times f(20)\\
\phantom{A_{OD'C'C}}=10\left(21\times \ln(21)-53\right)\\
\phantom{A_{OD'C'C}}=210\times \ln(21)-530}$mathjax$

Donc, l'aire totale est

$mathjax$\displaystyle{A=A_{ODCB}+A_{AD'C'B'}+A_{OAB'B}+A_{OD'C'C}\\
\phantom{A}=2A_{ODCB}+A_{OAB'B}+A_{OD'C'C}\\
\phantom{A}=2\left(\dfrac{1}{2}441\ln(21)-570\right)+70+210\times \ln(21)-530\\
\phantom{A}=441\ln(21)-1140-460+210\times \ln(21)\\
\phantom{A}=651\ln(21)-1600}$mathjax$

Comme

$mathjax$\displaystyle{\dfrac{A}{5}=\dfrac{651\ln(21)-1600}{5}\\
\phantom{\dfrac{A}{5}}\approx 76,4}$mathjax$

, il faut donc 77 litres de peinture.



Partie 2 - Question 3)a) :
Dans le repère (O;I,J),

$mathjax$\displaystyle{B_k\left(k,f(k)\right)}$mathjax$

et

$mathjax$\displaystyle{B_{k+1}\left(k+1,f(k+1)\right)}$mathjax$

(O;I,J) étant orthonormal,

$mathjax$\displaystyle{B_{k}B_{k+1}=\sqrt{\left(x_{B_{k+1}}-x_{B_k}\right)^2+\left(y_{B_{k+1}}-y_{B_k}\right)^2}\\
\phantom{B_{k}B_{k+1}}=\sqrt{(k+1-k)^2+\left(f(k+1)-f(k)\right)^2}\\
\phantom{B_{k}B_{k+1}}=\sqrt{1^2+\left(f(k+1)-f(k)\right)^2}\\
\phantom{B_{k}B_{k+1}}=\sqrt{1+\left(f(k+1)-f(k)\right)^2}}$mathjax$

Partie 2 - Question 3)b) :
Il s'agit ici d'additionner les aires de tous les rectangles B_kB_k+1B'_k+1B'_k.

Les rectangles extrêmes sont B₀B₁B'₁B'₀ pour k=0 et B₁₉B₂₀B'₂₀B'₁₉ pour k=19.
Cela implique de faire varier K de 0 à 19 :

Code: Select all

Pour K variant de 0 à 19

Remarque : On pouvait noter que cette réponse figurait déjà dans l'énoncé de la question 3)a).

Pour l'addition on utilise donc la variable S, somme initialisée à 0. On y rajoute quelque chose de la façon suivante :

Code: Select all

S prend la valeur S+...

La valeur à rajouter est l'aire du rectangle B_kB_k+1B'_k+1B'_k, c'est-à-dire d'après la question 3)a)

$mathjax$\displaystyle{A_{B_kB_{k+1}B'_{k+1}B'_k}=B_kB_{k+1}\times B_kB'_k\\
\phantom{A_{B_kB_{k+1}B'_{k+1}B'_k}}=\sqrt{1+\left(f(k+1)-f(k)\right)^2}\times 10\\
\phantom{A_{B_kB_{k+1}B'_{k+1}B'_k}}=10\sqrt{1+\left(f(k+1)-f(k)\right)^2}}$mathjax$

Code: Select all

S prend la valeur S+10√(1+(f(k+1)-f(k))²)

D'où l'algorithme ainsi complété :

Code: Select all

Variables :
   S: réel
   K: entier
Fonction :
   f: définie par f(x)=(x+1)\ln(x+1)-3x+7
Trairement :
   S prend pour valeur 0
   Pour K variant de 0 à 19
      S prend la valeur S+10√(1+(f(k+1)-f(k))²)
   FinPour
   Afficher S

[pierrotdu18]

Heu... √(1+(f(k+1)-f(k))²) c'est la distance entre Bk et Bk+1, c'est pas l'air du rectangle, il fallait multiplier par 10 qui est la largeur du module non ?

[Wistaro]

*10 non? Ou alors j'ai rien compris

[critor]

C'est pas un corrigé officiel, j'ai eu moins de temps que vous pour le faire (les sujets ne circulent pas avant 1h15) - je vais relire et me corriger pour vous rassurer.

[critor]

Voilà, rajouté le facteur 10 manquant à la dernière question - fallait pas paniquer pour si peu.

Sinon c'est super de votre part d'être arrivés jusqu'à la fin de cet exo

[pierrotdu18]

Ok super merci
Ah ah pas compliqué d'arriver jusqu'à la fin de celui-ci j'ai trouvé...
La géo dans l'espace m'a un peu perturbé par contre... je ne sais pas si c'est moi qui me trompe ou s'il y a une petite coquille dans le sujet mais quelque chose m'a perturbé !
Et aussi, l'exo de spé, j'avais pas vu qu'on savait où on était pour X0... Du coup j'ai fait le cas général avec X0 = {3/25, 4/25, 18/25}

[Wistaro]

Partie 2 - Question 1) :

Je me suis trompé j'ai pas pris le sommet de la parabole, j'ai pris sa valeur en 0. Du coup j'ai mis faux. Je suis dégoûté, je suis allé trop vite.

Du coup, vous pensez que cette erreur va me coûter combien de points ?

[pierrotdu18]

(j'ai un peu revigorifié le LaTeX )