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Coucou, je me permets de demander votre aide pour la résolution d'une équation différentielle, si certains ont la bosse des maths :/
(Merci d'avance parce que c'est pas agréable à lire, je le sais bien )
Si vous ne comprenez pas ce que je fais, sautez la partie compliquée que je sais faire et lisez juste la dernière ligne, ou je ne sais pas faire



Il s'agit de modéliser la dynamique d'une population (classique ) par le modèle dit "à effet Allee".
De nombreux PDF sur Google utilisent le modèle sans faire la résolution de l'équation différentielle. Donc je me demande si je suis mauvais, ou si de toutes façons on ne peut pas la résoudre.

Bref, le problème:

• x(t) est le nombre d'individus au temps t, on cherche justement cette fonction x
• K la capacité maximale du milieu, strictement positive
• M le paramètre de l'effet Allee, compris entre 0 et K
• r le taux d'accroissement naturel divisé par K, supposé strictement positif.

C'est une équation de Bernoulli: avec P=kMr , Q=-(K+M)r , R=r ;
Le plus haut degré de x est de 3 (>1) donc on recherche des solutions x telles que quelque soit .
est exclue car .

• Je divise l'équation par x^3 puisque x ne s'annule jamais:
  $mathjax$\frac{x'}{x^{3}}+P.\frac{1}{x²}+Q.\frac{1}{x}+R=0$mathjax$
• Je pose
  $mathjax$u_1=\frac{1}{x²}$mathjax$
  et
  $mathjax$u_1 '=x'.\frac{-2}{x^{3}}$mathjax$
  : On obtient
  $mathjax$\frac{-1}{2}.u_1 '+P.u_1 -2Q.u_1^{\frac{1}{2}} = 2R$mathjax$
  , qui est une autre équation de Bernoulli, quand on la met sous la forme
  $mathjax$u_1 '-2P.u_1 +4Q.u_1^{\frac{1}{2}} = -4R$mathjax$

Qu'à cela ne tienne, je vais traiter cette deuxième équation comme je l'ai fait avec la première: Le degré bizarre cette fois ci est 1/2, on recherche donc des u1(t) strictement positifs quelque soit t.

• Je divise l'équation par u1^(1/2) puisque u1 est strictement positive:
  $mathjax$\frac{u_1 '}{\sqrt{u_1}}-2P.\sqrt{u_1} +4Q = \frac{-4R}{\sqrt{u_1}}$mathjax$
• je pose
  $mathjax$u_2 = \sqrt{u_1}$mathjax$
  et
  $mathjax$u_2 '= \frac{1}{2}\frac{u_1 '}{\sqrt{u_1}}$mathjax$
  : On obtient une équation linéaire non homogène:
  $mathjax$u_2 ' + P.u_2 = -2Q-2R.\frac{1}{u_2}$mathjax$

EDIT: on me fait remarquer que non, étant donné la présence du 1/u2 , ce n'est pas linéaire.

Je tente donc de résoudre ça comme on me l'a appris pour les équations linéaires non homogènes:

• Je multiplie l'équation par
  $mathjax$e^{\int_{0}^{t}(P.ds)}=e^{P.t}$mathjax$
  : ça me donne
  $mathjax$(e^{P.t}.u_2)'=-2Q.e^{P.t}-2R.\frac{1}{u_2(t)}.e^{P.t}$mathjax$
• J'intègre entre 0 et t :
  $mathjax$\left [e^{P.s}.u_2(s) \right ]_{0}^{t}=-2Q\left [ \frac{e^{P.s}}{P} \right ]_{0}^{t}-2R.\int_{0}^{t}(\frac{1}{u_2(s)}.e^{P.s}.ds)$mathjax$

Et là, je ne sais pas calculer cette dernière intégrale. Et je me sens dégouté. Profondément.
Savez vous la calculer, ce qui permettrait de trouver u2(t), et donc u1(t), et donc x(t) ?
Avez vous une autre méthode de résolution ?

Merci à tous pour votre soutien intellectuel et psychologique face à ce problème ^^

Avec tout mon amour ,

Persalteas

Il me semble que c'est la demande d'aide la plus jolie que j'ai jamais vu.

Je te souhaite bon courage

Etant donné le sujet, et étant donné que je vous demande un peu de faire mes devoirs à ma place, la probabilité que quelqu'un réponde à cette demande d'aide est très, très faible
Alors autant mettre toutes les chances du bon coté

Qui ne tente rien n'a rien...

Je voudrais au moins savoir si ce que je cherche à faire est possible. Parce que ça fait plusieurs heures que je suis dessus, et que ça passe pas.

Technique numéro 2, inaboutie également, mais sur un problème de type différent:

• Je passe tout du même coté:
  $mathjax$\frac{x'}{rx(K-x)(x-M)} = 1$mathjax$
• J'intègre entre 0 et t:
  $mathjax$\frac{1}{r}.\int_{0}^{t}(\frac{x'}{x(K-x)(x-M)}.ds) = \int_{0}^{t}(1.ds)$mathjax$
• J'obtiens
  $mathjax$ln((\frac{x_0 - K}{x-K})^{M}.(\frac{x-M}{x_0 -M})^{K}) = rtKM(K-M)$mathjax$
  (Merci wolframalpha, ahem )
• Ce qui me donne:
  $mathjax$\frac{(x_0 -K)^{M}.(x-M)^{K}}{(x-K)^{M}.(x_0 -M)^{K}}=e^{rtKM(K-M)}$mathjax$

Comment isoler x de cette équation ? :/

En fait, puisque "t" n'apparaît pas dans l'équation, elle est à variables séparables... et donc il suffit de savoir intégrer :
et pour cela, une simple décomposition en éléments simples fait l'affaire.

On obtient ainsi t en fonction de x.
Ensuite, il ne reste qu'à inverser pour calculer (si nécessaire) x en fonction de t.

PS : J'avais écrit cela avant la réponse ci-dessus... mais le message n'est pas parti !

Ah ! Merci quand même pour ta réponse alors !

Ensuite, il ne reste qu'à inverser pour calculer (si nécessaire) x en fonction de t.

Est-ce possible ? (Le fait que Wolframalpha ne me le donne pas me laisse penser que non)

Ici, j'ai bien peur que non.
Mais ce n'est pas utile pour tracer la représentation graphique.

Pour la représentation graphique, j'étudie les équilibres et leur stabilité, etc...

En fait, le prof a demandé un diagramme de bifurcation, pas de résoudre l'équation, mais je voulais essayer pour voir, parce que je veux être sur que la limite de x quand t tend vers plus l'infini est soit zéro soit K.
Et ça, je ne vois pas comment faire sans l'équation x(t)= ...

Tu as dû rater un truc dans Wolfram Alpha...
Logiquement, tu devrais avoir :
En prenant l'inverse et en faisant tendre t vers l'infini, on obtient :
Ainsi,

Oulà.
Bon courage

Les équations différentielles, c'est à consommer avec modération