Limite de fonction

[Thibaut-57155]

Bonsoir à tous, alors déjà avant de commencer à vous balancer ma sauce, bien le bonjour à ceux qui me reconnaîtront, ensuite je suis désolé mais j'ai encore du mal ranger ce topic dans la mauvaise rubrique, et enfin, excusez le fait que je ne maitrise pas le LaTex...

Alors ma requête est la suivante : j'ai eu une khôlle de maths cette semaine, le prof m'a donné l'exercice suivant
Déterminer la limite suivante :

$mathjax$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^x}{{\lfloor x \rfloor}^{\lfloor x \rfloor}}$mathjax$

Le prof m'a donné deux suites à étudier :

$mathjax$\forall n\in\mathbb{N}, x_n = n$mathjax$

et

$mathjax$x'_n = n+\frac{1}{2}$mathjax$

Bon la première est simple à étudier, elle est constante égale à 1, donc tend vers 1
La deuxième par contre... En khôlle j'ai réussi à le faire mais là j'en suis incapable, et c'est bien chiant...

En gros, je dois, rigoureusement évidemment (salut Bisam, c'est un exo pour toi) démontrer que la fonction définie par

$mathjax$\displaystyle \frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{\left(n+\frac{1}{2}\right)}}{{\lfloor{n+\frac{1}{2}}\rfloor}^{\lfloor{n+\frac{1}{2}}\rfloor}}$mathjax$

tend vers + l'infini, et après en déduire que la fonction de départ n'admet pas de limite...

Je vous remercie pour votre aide !
Bonne soirée !

[Thibaut-57155]

Personne pour m'aider ? :/

[Bisam]

Tout d'abord, le Latex est bel et bien disponible et j'ai modifié ton post en conséquence.

Ensuite, ton exo est mal posé puisque il demande de trouver une limite... alors qu'en fait il n'y en a pas.

Enfin, pour démontrer que pour la deuxième suite cela tend vers

$mathjax$+\infty$mathjax$

, il suffit par exemple de le réécrire

$mathjax$\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n \times \sqrt{n+\frac{1}{2}}$mathjax$

(après avoir remarqué que pour tout entier n,

$mathjax$\lfloor n+\frac{1}{2}\rfloor=n$mathjax$

).