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Correction algo exercice n°4 Obligatoire du sujet de Maths du BAC S de novembre 2015 en Amérique du Sud.



Question A)1) :



Question A)2) :
D'une année à l'autre :

• la population en ville gagne 10% des ruraux et perd 5%
• la population rurale perd donc 10% et gagne 5% des citadins

Traduisons ces informations en formules recopiables vers le bas dans la feuille de calculs :

• B3=B2-0.10×B2+0.05×C2
• C3=C2+0.10×B2-0.05×C2

L'application tableur de la calculatrice graphique permet de valider ces formules, par comparaison avec le document fourni :

Calculatrices avec application tableur intégrée :

• TI-82 Advanced, TI-Nspire
• Casio Graph 75/85/95, Casio fx-CG10/20, Casio Classpad / fx-CP400
• HP-Prime

Calculatrices avec application tableur préchargée ou rajoutable :

• Casio Graph 35+ : suivre le tutoriel pour transformer la calculatrice en Graph 75
• TI-82 Plus, TI-83 Plus, TI-84 Plus, TI-84 Pocket.fr : application CellSheet à retélécharger si manquante
• TI-83 Premium CE, TI-84 Plus CE : application CellSheet 5.x à retélécharger si manquante

Question A)3) :
D'après la feuille de calcul, on peut conjecturer que :

• La population en zone rurale tend vers 40 millions d'habitants, par valeurs supérieures.
• La population en ville tend vers 80 millions d'habitants, par valeurs inférieures.

Question B)1)a) :
Démontrons par récurrence que .
Notons

• Initialisation :
  Pour n=0,
  $mathjax$u_0=30$mathjax$
  et
  $mathjax$u_{0+1}=u_1=37,5$mathjax$
  .
  Donc
  $mathjax$u_0\geq u_{0+1}$mathjax$
  et
  $mathjax$P_0$mathjax$
  est vraie.
• Hérédité :
  Supposons que
  $mathjax$P_n$mathjax$
  est vraie, c'est-à-dire que
  $mathjax$u_n\geq u_{n+1}$mathjax$
  .
  Montrons que
  $mathjax$P_{n+1}$mathjax$
  est vraie, c'est-à-dire que
  $mathjax$u_{n+1}\geq u_{n+2}$mathjax$
  .
  On sait que
  $mathjax$\forall n \in \mathbb{N} , u_{n+1}=0,85u_n+6$mathjax$
  .
  
  $mathjax$\phantom{\Leftrightarrow }u_n\geq u_{n+1} \\
  \Leftrightarrow 0,85u_n\geq 0,85u_{n+1} \\
  \Leftrightarrow 0,85u_n+6\geq 0,85u_{n+1}+6 \\
  \Leftrightarrow u_{n+1}\geq u_{n+2}$mathjax$
  
  Donc
  $mathjax$P_{n+1}$mathjax$
  est vraie.
• Conclusion :
  Donc
  $mathjax$\forall n \in \mathbb{N} , u_n\geq u_{n+1}$mathjax$
  et la suite
  $mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
  est décroissante.

Question B)1)b) :
.
La suite est donc décroissante d'après la question précédente, et de plus minorée par 0.
Donc la suite est convergente.


Question B)2)a) :

Donc
La suite est donc une suite géométrique de raison .


Question B)2)b) :
étant une suite géométrique,





Question B)2)c) :
D'après la question A)1),


Question B)3) :
car .
Donc et .
Les deux conjectures de la question A)3) sont validées.


Question B)4)a) :
L'algorithme s'articule autour d'une unique boucle tant que.
Au cours des itérations de cette boucle, il calcule les termes successifs de la suite , puisque l'on a :

• le rang dans la variable n (initialisée à 0, et incrémentée de 1 à chaque itération)
• la valeur du terme
  $mathjax$u_n$mathjax$
  dans la variable u (initialisée à
  $mathjax$u_0=90$mathjax$
  et modifiée selon la relation de récurrence de la suite à chaque itération)

La condition de poursuite de la boucle tant que est .
L'algorithme se termine donc sur la réalisation de la condition contraire, soit .
Cette condition se traduit dans le contexte du problème par .
Or, d'après B)2)c), .
Donc la condition d'arrêt peut se réécrire .
Affichant comme résultat la valeur de la variable n, l'algorithme recherche donc le plus petit rang n tel que .
Dans le contexte du problème, l'algorithme recherche donc le rang de la première année après 2010 pour laquelle la population urbaine dépassera strictement la population rurale.


Question B)4)b) :

Dans le document, u est en colonne B et v en colonne C.
Nous lisons jusqu'à n=5 et pour n=6 .
L'algorithme répond donc 6.
C'est en 2010+6=2016 que la population urbaine dépassera strictement la population rurale.