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Correction algo exercice n°1 du sujet de Maths du BTS groupement B de mai 2016 en France.

Question C)1)
Programmons l'algorithme sur notre calculatrice et rajoutons une instruction d'affichage de l'état des variables et du test en fin de la boucle "tant que" pour qu'il nous dise directement comment compléter le tableau.

Algorithme

Programme

Code: Select all Variables :    t est un nombre réel Initialisation :    t prend la valeur 0 Traitement :    Tant que f(t)<11,9       t prend la valeur t+1    Fin de Tant que Sortie :    Afficher t

TI- 82/83/84 (Français) TI- 82/83/84 (Anglais) TI- Nspire 89/92/V200 Casio Graph Prizm/fx-CG Casio Classpad fx-CP HP Prime 39GII Code: Select all Chaîne►Équ("-10e^(-0.3X)+12",Y1) 0→T While Y1(T)<11.9    T+1→T    Disp {T,Y1(T),Y1(T)<11.9} End T Code: Select all String►Equ("-10e^(-0.3X)+12",Y1) 0→T While Y1(T)<11.9    T+1→T    Disp {T,Y1(T),Y1(T)<11.9} End T Code: Select all Define bts2016b()= Func    Local f,t    Define f(t)=-10·e^(-0.3t)+12    0→t    While f(t)<11.9       t+1→t       Disp {t,f(t),f(t)<11.9}    EndWhile    Return t EndFunc Code: Select all "-10e^(-0.3X)+12"→Y1 0→T While Y1(T)<11.9    T+1→T    {T,Y1(T),Y1(T)<11.9}◢ WhileEnd T Code: Select all SetDecimal Define f(t)=-10e^(-0.3t)+12 0⇒t While f(t)<11.9    t+1⇒t    Print {t,f(t),judge(f(t)<11.9)} WhileEnd Print t Code: Select all EXPORT BTS2016B() BEGIN    F1:="-10*e^(-0.3*X)+12";    T:=0;    WHILE F1(T)<11.9 DO       T:=T+1;       PRINT({T,F1(T),F1(T)<11.9})    END;    PRINT(T) END;

D'où la réponse :

Etapes	Valeur de t	Valeur de f(t)	Condition f(t)<11.9	Affichage
étape 1	0	f(0)=2	VRAIE	aucun
étape 2	1	f(1)≈4,59	VRAIE	aucun
étape 3	2	f(2)≈6,51	VRAIE	aucun
étape 4	3	f(3)≈7,93	VRAIE	aucun
étape 5	4	f(4)≈8,99	VRAIE	aucun
étape 6	5	f(5)≈9,77	VRAIE	aucun
étape 7	6	f(6)≈10,35	VRAIE	aucun
étape 8	7	f(7)≈10,78	VRAIE	aucun
étape 9	8	f(8)≈11,09	VRAIE	aucun
étape 10	9	f(9)≈11,33	VRAIE	aucun
étape 11	10	f(10)≈11,50	VRAIE	aucun
étape 12	11	f(11)≈11,63	VRAIE	aucun
étape 13	12	f(12)≈11,73	VRAIE	aucun
étape 14	13	f(13)≈11,80	VRAIE	aucun
étape 15	14	f(14)≈11,85	VRAIE	aucun
étape 16	15	f(15)≈11,89	VRAIE	aucun
étape 17	16	f(16)≈11,92	FAUSSE	16

Question C)2)
D'après le tableau précédent, c'est entre t=15s et t=16s que la hauteur f(t) de la nacelle devient comprise entre 11,9 et 12.
A la seconde près, on peut donc considérer que la nacelle est stabilisée à partir de t₀=16s.

Question C)3)
L'algorithme précédent effectue un balayage à partir de t=0s par pas de 1s.
Pour obtenir une valeur approchée au dixième près, il nous suffit donc d'effectuer un balayage par pas de 0,1s.
De plus, on sait que la valeur recherchée est entre 15 et 16, et on peut donc initialiser la variable t à 15 pour gagner du temps.

On peut également programmer l'algorithme ainsi modifié sur calculatrice, pour vérifier qu'il fonctionne correctement en renvoyant bien une valeur au dixième près entre 15 et 16 :

Algorithme

Programme

Code: Select all Variables :    t est un nombre réel Initialisation :    t prend la valeur 15 Traitement :    Tant que f(t)<11,9       t prend la valeur t+0,1    Fin de Tant que Sortie :    Afficher t

TI- 82/83/84 (Français) TI- 82/83/84 (Anglais) TI- Nspire 89/92/V200 Casio Graph Prizm/fx-CG Casio Classpad fx-CP HP Prime 39GII Code: Select all Chaîne►Équ("-10e^(-0.3X)+12",Y1) 15→T While Y1(T)<11.9    T+0.1→T    Disp {T,Y1(T),Y1(T)<11.9} End T Code: Select all String►Equ("-10e^(-0.3X)+12",Y1) 15→T While Y1(T)<11.9    T+0.1→T    Disp {T,Y1(T),Y1(T)<11.9} End T Code: Select all Define bts2016b2()= Func    Local f,t    Define f(t)=-10·e^(-0.3t)+12    15→t    While f(t)<11.9       t+0.1→t       Disp {t,f(t),f(t)<11.9}    EndWhile    Return t EndFunc Code: Select all "-10e^(-0.3X)+12"→Y1 15→T While Y1(T)<11.9    T+0.1→T    {T,Y1(T),Y1(T)<11.9}◢ WhileEnd T Code: Select all SetDecimal Define f(t)=-10e^(-0.3t)+12 15⇒t While f(t)<11.9    t+0.1⇒t    Print {t,f(t),judge(f(t)<11.9)} WhileEnd Print t Code: Select all EXPORT BTS2016B2() BEGIN    F1:="-10*e^(-0.3*X)+12";    T:=15;    WHILE F1(T)<11.9 DO       T:=T+0.1;       PRINT({T,F1(T),F1(T)<11.9})    END;    PRINT(T) END;