Correction exo 3 Obligatoire (algo) BAC ES/L 2016, Liban

[critor]

Correction exercice n°3 Obligatoire du sujet de Maths du BAC ES/L de mai 2016 au Liban.

Question 1)a)
En 2015 il y a 75 contrats.
En 2016 il y aura 12% de contrats supplémentaires et 6 résiliations.
Il y aura donc :

$mathjax$75\times \left(1+\frac{12}{100}\right)-6=75\times \frac{112}{100}-6\\
\phantom{75\times \left(1+\frac{12}{100}\right)-6}=\frac{8400}{100}-6\\
\phantom{75\times \left(1+\frac{12}{100}\right)-6}=84-6\\
\phantom{75\times \left(1+\frac{12}{100}\right)-6}=78$mathjax$

Question 1)b)
De même, nous avons pour tout entier naturel n :

$mathjax$u_{n+1}=u_n\times \left(1+\frac{12}{100}\right)-6\\
\phantom{u_{n+1}}=u_n\times \frac{112}{100}-6\\
\phantom{u_{n+1}}=1,12 u_n-6$mathjax$

Question 2)a)
La variable n initialisée à 0 et incrémentée de 1 représente le rang de l'année compté à partir de 2015.
Pour que l'algorithme réponde une année, la dernière ligne doit être :

Code: Select all

Afficher 2015+n

Question 2)b)
Pour obtenir la trace de l'algorithme, rajoutons une instruction affichant l'état des variables en fin de boucle, et programmons-le sur notre calculatrice graphique :

Algorithme

Programme

Code: Select all Variables :    n est un nombre entier naturel    U est un nombre réel Traitement :    Affecter à n la valeur 0    Affecter à U la valeur 75    Tant que U≤100 faire       n prend la valeur n+1       U prend la valeur 1,12U-6       Afficher n et U    Fin Tant que Sortie :    Afficher 2015+n

TI- 82/83/84 (Français) TI- 82/83/84 (Anglais) TI- Nspire 89/92/V200 Casio Graph Prizm/fx-CG Casio Classpad fx-CP HP Prime 39GII Code: Select all 0→N 75→U While U≤100    N+1→N    1.12U-6→U    Disp {N,arrondir(U,0)} End 2015+N Code: Select all 0→N 75→U While U≤100    N+1→N    1.12U-6→U    Disp {N,round(U,0)} End 2015+N Code: Select all Define liban2016eso()= Func    Local n,u    0→n    75→u    While u≤100       n+1→n       1.12∙u-6→u       Disp n,round(u,0)    EndWhile    Return 2015+n EndFunc Code: Select all 0→N 75→U While U≤100    N+1→N    1.12U-6→U    {N,U}◢ WhileEnd 2015+N Code: Select all 0⇒n 75⇒u While u≤100    n+1⇒n    1.12u-6⇒u    Print {n,u} WhileEnd Print 2015+n Code: Select all EXPORT LIBAN2016ESO() BEGIN    N:=0;    U:=75;    WHILE U≤100 DO       N:=N+1;       U:=1.12*U-6;       PRINT({N,ROUND(U,0)})    END;    PRINT(2015+N) END;

D'où la trace ainsi complétée :

Valeur de N	0	1	2	3	4	5	6	7
Valeur de U	75	78	81	85	89	94	99	105

Question 2)b)
L'algorithme se termine donc en affichant une valeur de :

$mathjax$2015+n=2015+7\\
\phantom{2015+n}=2022$mathjax$

L'algorithme s'articule autour d'une boucle Tant que de condition de poursuite U≤100.
Il se termine donc sur la réalisation de la condition contraire : U>100.
La variable U étant initialisée à

$mathjax$u_0=75$mathjax$

et affectée de façon récurrente dans la boucle selon la relation du 1)b), elle représente u_n, c'est-à-dire le nombre de contrats l'année 2015+n.
L'algorithme recherche donc l'année à partir de laquelle le nombre de contrats dépassera 100.

Question 3)a)
Pour tout entier naturel n :

$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}-50\\
\phantom{v_{n+1}}=1,12 u_n-6-50\\
\phantom{v_{n+1}}=1,12 u_n-56$mathjax$

Or pour tout entier naturel,

$mathjax$v_n=u_n-50\Leftrightarrow u_n=v_n+50$mathjax$

.
Donc :

$mathjax$v_{n+1}=1,12\left(v_n+50\right)-56\\
\phantom{v_{n+1}}=1,12 v_n+1,12\times 50-56\\
\phantom{v_{n+1}}=1,12 v_n+56-56\\
\phantom{v_{n+1}}=1,12 v_n$mathjax$

$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$

est donc une suite géométrique de raison 1,12.
Son premier terme est :

$mathjax$v_0=u_0-50\\
\phantom{v_0}=75-50\\
\phantom{v_0}=25$mathjax$

Question 3)b)
Donc pour tout entier naturel n :

$mathjax$v_n=v_0\times (1,12)^n\\
\phantom{v_n}=25\times (1,12)^n$mathjax$

Or pour tout entier naturel,

$mathjax$u_n=v_n+50$mathjax$

.
Donc pour tout entier naturel n :

$mathjax$u_n=25\times (1,12)^n+50$mathjax$

Question 3)c)

$mathjax$u_n>100\Leftrightarrow 25\times (1,12)^n+50>100\\
\phantom{u_n>100}\Leftrightarrow 25\times (1,12)^n>100-50\\
\phantom{u_n>100}\Leftrightarrow 25\times (1,12)^n>50\\
\phantom{u_n>100}\Leftrightarrow (1,12)^n>\frac{50}{25}\\
\phantom{u_n>100}\Leftrightarrow (1,12)^n>2\\
\phantom{u_n>100}\Leftrightarrow \ln \left((1,12)^n\right)>\ln(2)\\
\phantom{u_n>100}\Leftrightarrow n\times \ln(1,12)>\ln(2)\\
\phantom{u_n>100}\Leftrightarrow n>\frac{\ln(2)}{\ln(1,12)}$mathjax$

(car 25>0 et ln(1,12)>0)
Or,

$mathjax$\frac{\ln(2)}{\ln(1,12)}\approx 6,1$mathjax$

Donc n≥7.

Question 3)d)
On confirme ainsi le résultat de la question 2)c).
Le nombre de contrats dépassera 100 en l'année 2015+7=2022.