Correction exo 3 Spécialité (algo) BAC ES 2016, Liban

→ **MyCalcs** profile · by **critor** » 31 May 2016, 23:13

Correction exercice n°3 Spécialité du sujet de Maths du BAC ES de mai 2016 au Liban.

Question A)1)

La matrice de transition est donc :

$mathjax$M=\left(\begin{array}{cc}0,8 & 0,2 \\
0,12 & 0,88\end{array}\right)$mathjax$

Question A)2)a)

$mathjax$PM=\left(\begin{array}{cc}0,375 & 0,625\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{cc}0,8 & 0,2 \\
0,12 & 0,88\end{array}\right)\\
\phantom{MP}=\left(\begin{array}{cc}0,375\times 0,8 + 0,625\times 0,12 & 0,375\times 0,2 + 0,625\times 0,88\end{array}\right)\\
\phantom{MP}=\left(\begin{array}{cc}0,3+0,075 && 0,075+0,55\end{array}\right)\\
\phantom{MP}=\left(\begin{array}{cc}0,375 && 0,625\end{array}\right)\\
\phantom{MP}=P$mathjax$

Donc

$mathjax$P=\left(\begin{array}{cc}0,375 & 0,625\end{array}\right)$mathjax$

est bien l'état stable.

Question A)2)b)
Dans l'état stable, il y a 37,5% de propriétaires sous contrat.
L'entreprise peut donc espérer atteindre son objectif d'au moins 35% de propriétaires sous contrat.

Question B)1)
Pour tout entier naturel n, on a :

$mathjax$c_{n+1}=c_n+0,12 l_n-0,2 c_n\\
\phantom{c_{n+1}}=0,8 c_n+0,12 l_n$mathjax$

Or, pour tout entier naturel n,

$mathjax$c_n+l_n=1\Leftrightarrow l_n=1-c_n$mathjax$

.
Donc :

$mathjax$c_{n+1}=c_n+0,12\left(1-c_n\right)-0,2 c_n\\
\phantom{c_{n+1}}=c_n+0,12-0,12 c_n-0,2 c_n\\
\phantom{c_{n+1}}=0,68 c_n+0,12$mathjax$

Question B)2)
Pour obtenir la trace de l'algorithme demandée, rajoutons une instruction affichant l'état des variables en fin de boucle, et programmons-le sur notre calculatrice graphique :

Algorithme

Programme

Code: Select all: Variables : n est un nombre entier naturel C est un nombre réel Traitement : Affecter à n la valeur 0 Affecter à C la valeur 0,15 Tant que U<0,35 faire n prend la valeur n+1 C prend la valeur 0,68C+0,12 Afficher n et C Fin Tant que Sortie : Afficher n

TI-
82/83/84
(Français) TI-
82/83/84
(Anglais) TI-
Nspire
89/92/V200 Casio
Graph
Prizm/fx-CG Casio
Classpad
fx-CP HP
Prime
39GII

Code: Select all: 0→N 0.15→C While C<0.35 N+1→N 0.68C+0.12→C Disp {N,arrondir(C,3)} End N

Code: Select all: 0→N 0.15→C While C<0.35 N+1→N 0.68C+0.12→C Disp {N,round(C,3)} End N

Code: Select all: Define liban2016eso()= Func Local n,c 0→n 0.15→c While c<0.35 n+1→n 0.68∙c+0.12→c Disp n,round(C,3) EndWhile Return n EndFunc

Code: Select all: 0→N 0.15→C While C<0.35 N+1→N 0.68C+0.12→C {N,C}◢ WhileEnd N

Code: Select all: 0⇒n 0.15⇒c While c<0.35 n+1⇒n 0.68c+0.12⇒c Print {n,c} WhileEnd Print n

Code: Select all: EXPORT LIBAN2016ESS() BEGIN N:=0; C:=0.15; WHILE C<0.35 DO N:=N+1; C:=0.68*C+0.12; PRINT({N,ROUND(C,3)}) END; PRINT(N) END;

D'où la trace ainsi complétée :

Valeur de n	0	1	2	3	4	5	6
Valeur de C	0,15	0,222	0,271	0,304	0,327	0,342	0,353

Question B)2)b)
L'algorithme se termine en affichant la valeur de la variable n.
Il affiche donc 6.

Il s'agit du nombre d'années au bout duquel l'entreprise peut espérer atteindre son objectif d'au moins 35% des propriétaires sous contrat selon les prévisions.

Question B)3)a)
Pour tout entier naturel n :

$mathjax$v_{n+1}=c_{n+1}-0,375\\
\phantom{v_{n+1}}=0,68 c_n+0,12-0,375\\
\phantom{v_{n+1}}=0,68 c_n-0,255$mathjax$

Or, pour tout entier naturel n,

$mathjax$v_n=c_n-0,375\Leftrightarrow c_n=v_n+0,375$mathjax$

.
Donc pour tout entier naturel n :

$mathjax$v_{n+1}=0,68\left(v_n+0,375\right)-0,255\\
\phantom{v_{n+1}}=0,68 v_n+0,68\times 0,375-0,255\\
\phantom{v_{n+1}}=0,68 v_n+0,255-0,255\\
\phantom{v_{n+1}}=0,68 v_n$mathjax$

$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$

est donc une suite géométrique de raison 0,68.
Son premier terme est :

$mathjax$v_0=c_0-0,375\\
\phantom{v_0}=0,15-0,375\\
\phantom{v_0}=-0,225$mathjax$

Question B)3)b)

$mathjax$c_n≥0,35\Leftrightarrow -0,225\times 0,68^n+0,375≥0,35\\
\phantom{u_n≥0,35}\Leftrightarrow -0,225\times 0,68^n≥0,35-0,375\\
\phantom{u_n≥0,35}\Leftrightarrow -0,225\times 0,68^n≥-0,025\\
\phantom{u_n≥0,35}\Leftrightarrow 0,225\times 0,68^n≤0,025\\
\phantom{u_n≥0,35}\Leftrightarrow 0,68^n≤\frac{0,025}{0,225}\\
\phantom{u_n≥0,35}\Leftrightarrow 0,68^n≤\frac{1}{9}\\
\phantom{u_n≥0,35}\Leftrightarrow ln\left(0,68^n\right)≤ln\left(\frac{1}{9}\right)\\
\phantom{u_n≥0,35}\Leftrightarrow n\times ln(0,68)≤-ln(9)\\
\phantom{u_n≥0,35}\Leftrightarrow n≥-\frac{ln(9)}{ln(0,68)}$mathjax$

(car ln(0,68)<0)
Or,

$mathjax$-\frac{ln(9)}{ln(0,68)}\approx 5,697$mathjax$

Donc n≥6.

Question B)3)c)
On confirme ainsi le résultat de la question B)2)b).
Le nombre de contrats dépassera 35% après 6 ans.