Correction exo 2 Obl. (algo) BAC ES/L 2016, Amérique du Nord

→ **MyCalcs** profile · by **critor** » 02 Jun 2016, 14:00

Correction exercice n°2 Obligatoire du sujet de Maths du BAC ES/L de juin 2016 en Amérique du Nord.

Question 1)
Au 1^er janvier 2016 il y a 4000 abonnés.
Au 1^er février 2016 il y aura donc 8% de résiliations mais 8000 nouveaux abonnés.
Ce qui nous donne :

$mathjax$4000\times\left(1-\frac{8}{100}\right)+8000=4000\times\left(\frac{100}{100}-\frac{8}{100}\right)+8000\\
\phantom{4000\times\left(1-\frac{8}{100}\right)+8000}=4000\times\frac{100-8}{100}+8000\\
\phantom{4000\times\left(1-\frac{8}{100}\right)+8000}=4000\times\frac{92}{100}+8000\\
\phantom{4000\times\left(1-\frac{8}{100}\right)+8000}=40\times{92}+8000\\
\phantom{4000\times\left(1-\frac{8}{100}\right)+8000}=3680+8000\\
\phantom{4000\times\left(1-\frac{8}{100}\right)+8000}=11680$mathjax$

Question 2)a)
Pour obtenir la trace de l'algorithme, rajoutons une instruction affichant l'état des variables et du test en fin de boucle, et programmons-le sur notre calculatrice graphique :

Algorithme

Programme

Code: Select all: Variables : N est un nombre entier naturel U est un nombre réel Traitement : U prend la valeur 4 N prend la valeur 0 Tant que U<40 faire U prend la valeur 0,92×U+8 N prend la valeur N+1 Afficher N, U et U<40 Fin Tant que Sortie : Afficher N

TI-
82/83/84
(Français) TI-
82/83/84
(Anglais) TI-
Nspire
89/92/V200 Casio
Graph
Prizm/fx-CG Casio
Classpad
fx-CP HP
Prime
39GII

Code: Select all: 4→U 0→N While U<40 0.92*U+8→U N+1→N Disp {arrondir(U,1),N,U<40} End N

Code: Select all: 4→U 0→N While U<40 0.92*U+8→U N+1→N Disp {round(U,1),N,U<40} End N

Code: Select all: Define amern2016eso()= Func Local u,n 4→u 0→n While u<40 0.92∙u+9→u n+1→n Disp round(u,1),n,u<40 EndWhile Return n EndFunc

Code: Select all: 4→U 0→N While U<40 0.92×U+8→U N+1→N {U,N,U<40}◢ WhileEnd N

Code: Select all: 4⇒u 0⇒n While u<40 0.92*u+8⇒u n+1⇒n Print {u,n,judge(u<40)} WhileEnd Print n

Code: Select all: EXPORT AMERN2016ESO() BEGIN U:=4; N:=0; WHILE U<40 DO U:=0.92*U+8; N:=N+1; PRINT({ROUND(U,1),N,U<40}) END; PRINT(N) END;

D'où la trace ainsi complétée :

Valeur de U	40	11,7	18,7	25,2	31,2	36,7	41,8
Valeur de N	0	1	2	3	4	5	6
Valeur de U<40	Vrai	Vrai	Vrai	Vrai	Vrai	Vrai	Faux

Question 2)b)
L'algorithme affiche l'état final de la variable N, c'est-à-dire 6.

La variable U initialisée à

$mathjax$u_0=4$mathjax$

et réaffectée dans la boucle selon la relation de récurrence de la suite

$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$

est donc le nombre d'abonnés en milliers.
La variable N initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle est donc le nombre de mois écoulés depuis le 1^er janvier 2016.
Cet algorithme s'articule autour d'une boucle Tant que de condition de poursuite U<40.
Il se termine donc sur la réalisation de la condition contraire U≥40.
L'algorithme recherche donc le nombre de mois au bout duquel le nombre d'abonnés dépassera 40 milliers.

Question 3)a)

$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}-100\\
\phantom{v_{n+1}}=0,92 u_n+8-100\\
\phantom{v_{n+1}}=0,92 u_n-92$mathjax$

Or pour tout entier naturel n,

$mathjax$v_n=u_n-100\Leftrightarrow u_n=v_n+100$mathjax$

.
Donc :

$mathjax$v_{n+1}=0,92\left(v_n+100\right)-92\\
\phantom{v_{n+1}}=0,92 v_n+0,92\times 100-92\\
\phantom{v_{n+1}}=0,92 v_n+92-92\\
\phantom{v_{n+1}}=0,92 v_n$mathjax$

La suite

$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$

est donc une suite géométrique de raison 0,92.

Son premier terme est

$mathjax$v_0=u_0-100\\
\phantom{v_0}=4-100\\
\phantom{v_0}=-96$mathjax$

Question 3)b)
Donc pour tout entier naturel n,

$mathjax$v_n=v_0\times 0,92^n\\
\phantom{v_n}=-96\times 0,92^n$mathjax$

Question 3)c)

$mathjax$u_n=v_n+100\\
\phantom{u_n}=-96\times 0,92^n+100\\
\phantom{u_n}=100-96\times 0,92^n$mathjax$

Question 4)
Pour savoir quand est-ce que le nombre d'abonnés dépasse 70000, résolvons

$mathjax$u_n\geq70$mathjax$

.

$mathjax$u_n>=70\Leftrightarrow 100-96\times 0,92^n\geq70\\
\phantom{u_n\geq70}\Leftrightarrow -96\times 0,92^n\geq70-100\\
\phantom{u_n\geq70}\Leftrightarrow -96\times 0,92^n\geq-30\\
\phantom{u_n\geq70}\Leftrightarrow 96\times 0,92^n\leq30\\
\phantom{u_n\geq70}\Leftrightarrow 0,92^n\leq\frac{30}{96}\\
\phantom{u_n\geq70}\Leftrightarrow 0,92^n\leq\frac{5}{16}\\
\phantom{u_n\geq70}\Leftrightarrow ln\left(0,92^n\right)\leq ln\left(\frac{5}{16}\right)\\
\phantom{u_n\geq70}\Leftrightarrow n\times ln(0,92)\leq ln(5)-ln(16)\\
\phantom{u_n\geq70}\Leftrightarrow n\geq\frac{ln(5)-ln(16)}{ln(0,92)}$mathjax$

(car ln(0,92)<0)
Or,

$mathjax$\frac{ln(5)-ln(16)}{ln(0,92)}\approx 13,9$mathjax$

Donc

$mathjax$n\geq14$mathjax$

Le nombre d'abonnés dépassera 70000 après 14 mois, soit après 1 an et 2 mois, c'est-à-dire au 1^er mars 2017.