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Posted: **16 Jun 2016, 16:58**

Correction de l'exercice 2 (algo) du sujet de Maths commun aux BAC 2016 STI2D et STL spécialité SPCL et tombé en France en juin 2016.

Question A)1)a)

$mathjax$600000\times 1,25=750000$mathjax$

Le 31 mai à 9h nous avons 750000mg de chlore, soit 750g de chlore.
Dont

$mathjax$u_0=750$mathjax$

Avec un taux en mg/L de 1,25<2, le bassin était en sous chloration au 31 mai et n'aurait pas dû être ouvert.

Question A)1)b)

$mathjax$u_1=\left(1-\frac{25}{100}\right)u_0+570\\
\phantom{u_1}=(1-0,25)750+570\\
\phantom{u_1}=0,75\times 750+570\\
\phantom{u_1}=562,5+570\\
\phantom{u_1}=1132,5$mathjax$

Question A)1)c)
Pour tout entier naturel n :

$mathjax$u_{n+1}=\left(1-\frac{25}{100}\right)u_n+570\\
\phantom{u_{n+1}}=(1-0,25)u_n+570\\
\phantom{u_{n+1}}=0,75 u_n+570$mathjax$

Question A)1)e)
D'après la relation de récurrence précédente, la suite

$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$

n'est donc pas géométrique.

Question A)2)a)
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Pour.
La variable u affichée en sortie initialisée à

$mathjax$u_0=750$mathjax$

et modifiée dans la boucle selon la relation de récurrence de la suite

$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$

contient donc la valeur d'un terme de cette suite.
La variable k compteur de la boucle Pour allant de 1 à N, la boucle est répétée N fois.
L'algorithme affiche donc en sortie

$mathjax$u_N$mathjax$

, c'est-à-dire la quantité de chlore au N^ème jour.

Question A)2)b)
Pour avoir le détail pas à pas de l'exécution de l'algorithme, rajoutons une instruction d'affichage en fin de boucle et programmons-le sur notre calculatrice :

Algorithme

Programme

Code: Select all: Variables u : un nombre réel N : un nombre entier naturel k : un nombre entier naturel Initialisation Saisir la valeur de N u prend la valeur 750 Traitement : Pour k allant de 1 à N u prend la valeur 0,75u+570 Afficher u Fin du Pour Sortie : Afficher u

TI-
82
83/84 TI-
Nspire
89/92/V200 Casio
Graph
Prizm/fx-CG Casio
Classpad
fx-CP HP
Prime
39GII

Code: Select all: Prompt N 750→U For(K,1,N) 0,75U+570→U Disp U End U

Code: Select all: Define fr2016sti2d(n)= Func Local u,k 750→u For k,1,n 0.75∙u+570→u Disp u EndFor Return u EndFunc

Code: Select all: ?→N 750→U For 1→K To N 0.75U+570→U U◢ WhileEnd U

Code: Select all: Input n 750⇒u For 1⇒k To n 0.75u+570⇒u Print u WhileEnd Print u

Code: Select all: EXPORT FR2016STI2D(N) BEGIN U:=750; FOR K FROM 1 TO N DO U:=0.75*U+570; PRINT(U) END; PRINT(U); END;

D'où le tableau ainsi complété :

Variables	Initialisation	Etape 1	Etape 2	Etape 3
u	750	1132,5	1419,375	1634,53125

Pour k=2, nous avons donc u=1419,375.
Or,

$mathjax$\frac{1419,375\times 1000}{6OOOOO}=\frac{1419375}{6OOOOO}\\
\phantom{\frac{1419,375\times 1000}{6OOOOO}}\approx 2,4$mathjax$

Le taux de chlore est donc bien compris entre 2 et 4 après 2 jours, et la piscine pourra donc être ouverte dès le 2 juin.

Question A)2)c)
D'après l'algorithme programmé sur la calculatrice, on obtient pour N=15 environ 2259,554.
Au 15^ème nous aurons donc environ environ 2259,554 g de chlore.

Question B)1)a)
Pour tout entier naturel n,

$mathjax$d_n=u_{n+1}-u_n$mathjax$

.
Donc

$mathjax$d_0=u_{0+1}-u_0\\
\phantom{d_0}=u_1-u_0\\
\phantom{d_0}=1132,5-750\\
\phantom{d_0}=382,5$mathjax$

De même

$mathjax$d_1=u_{1+1}-u_1\\
\phantom{d_1}=u_2-u_1\\
\phantom{d_1}=1419,375-1132,5\\
\phantom{d_1}=286,875$mathjax$

De même

$mathjax$d_2=u_{2+1}-u_2\\
\phantom{d_2}=u_3-u_2\\
\phantom{d_2}=1634,53125-1419,375\\
\phantom{d_2}=215,15625$mathjax$

Question B)1)b)

$mathjax$\frac{d_1}{d_0}=\frac{286,875}{382,5}\\
\phantom{\frac{d_1}{d_0}}=0,75$mathjax$

$mathjax$\frac{d_2}{d_1}=\frac{215,15625}{286,875}\\
\phantom{\frac{d_2}{d_1}}=0,75$mathjax$

Donc

$mathjax$\frac{d_1}{d_0}=\frac{d_2}{d_1}$mathjax$

.
Les premiers termes d₀, d₁ et d₂ semblent bien suivre une progression géométrique de raison 0,75.

Question B)2)
Pour tout entier naturel n :

$mathjax$u_{n+1}-u_n=0,75 u_n+570-u_n\\
\phantom{u_{n+1}-u_n}=-0,25 u_n+570$mathjax$

Question B)3)a)
Pour tout entier naturel n,

$mathjax$d_{n+1}=0,75 d_n$mathjax$

.

$mathjax$\left(d_n\right)$mathjax$

est donc une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme

$mathjax$d_0=382,5$mathjax$

.
Donc pour tout entier naturel n,

$mathjax$d_n=d_0\times 0,75^n\\
\phantom{d_n}=382,5\times 0,75^n$mathjax$

Question B)3)b)
Pour tout entier naturel n,

$mathjax$d_n=u_{n+1}-u_n$mathjax$

.
Donc d'après le 2) :

$mathjax$382,5\times 0,75^n=-0,25 u_n+570\Leftrightarrow 0,25 u_n=570-382,5\times 0,75^n\\
\phantom{382,5\times 0,75^n=-0,25 u_n+570}\Leftrightarrow u_n=\frac{570-382,5\times 0,75^n}{0,25}\\
\phantom{382,5\times 0,75^n=-0,25 u_n+570}\Leftrightarrow u_n=4\left(570-382,5\times 0,75^n\right)\\
\phantom{382,5\times 0,75^n=-0,25 u_n+570}\Leftrightarrow u_n=4\times 570-4\times 382,5\times 0,75^n\\
\phantom{382,5\times 0,75^n=-0,25 u_n+570}\Leftrightarrow u_n=2280-1530\times 0,75^n$mathjax$

Question B)3)c)

$mathjax$0\leq 0,75<1$mathjax$

Donc

$mathjax$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,75^n=0$mathjax$

Donc

$mathjax$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 1530\times 0,75^n=0$mathjax$

Donc

$mathjax$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 2280-1530\times 0,75^n=2280$mathjax$

En conclusion,

$mathjax$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=2280$mathjax$

Dans le contexte de l'exercice, la quantité de chlore finit par se stabiliser en tendant vers une valeur de 2280g.

$mathjax$\frac{2280\times 1000}{600000}=\frac{2280000}{600000}\\
\phantom{\frac{2280\times 1000}{600000}}=3,8$mathjax$

La taux de chlore tendra donc lui vers 3,8 mg/L, valeur qui est bien comprise entre 2 et 4.
En continuant bien à suivre le protocole de l'énoncé, le bassin pourra donc être maintenu ouvert indéfiniment.

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Correction exo 2 (algo) BAC STI2D/STL 2016 (France, juin)

Correction exo 2 (algo) BAC STI2D/STL 2016 (France, juin)