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Correction de l'exercice 4 (algo) du sujet de Maths du BAC STL 2016 spécialité Biotechnologies et tombé en France en juin 2016.

Question 1)a)


Question 1)b)
Pour tout entier naturel n, on a de même :

La suite est donc une suite géométrique de raison 1,06.
Donc pour tout entier naturel n,

Question 1)c)
En partant de janvier 2014, septembre 2014 est donc le mois de rang 8.

En septembre 2014, Alice pourra courrir environ 15,9 km.

Question 1)d)

(car la fonction ln est croissante et

$mathjax$ln(1,06)>0$mathjax$

)
Or,
Donc .
C'est au bout de 16 mois qu'Alice pourra courrir 25 km.

Question 2)a)
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Tant que, de condition de poursuite t>50.
Il se termine donc sur la réalisation de la condition contraire : t≤50.
La variable t initialisée à 60 et diminuée de 2% dans la boucle est donc le temps mis par Alice pour courir les 10 premiers kilomètres.
La variable N initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle est donc le rang du mois à compter de septembre 2015.
L'algorithme affiche donc en sortie :

• le nombre de mois à partir de septembre 2015 au bout duquel Alice mettra moins de 50 minutes à courir les 10 premiers kilomètres
• le temps qui sera alors mis pour courir les 10 premiers kilomètres

Question 2)b)
Pour avoir le détail pas à pas de l'exécution de l'algorithme, rajoutons une instruction d'affichage en fin de boucle et programmons-le sur notre calculatrice :

Algorithme

Programme

Code: Select all Variables    N entier naturel,    t réel Initialisation    Affecter à N la valeur 0    Affecter à t la valeur 60 Traitement :    Tant que t>50       Affecter à N la valeur N+1       Affeter à t la valeur 0,98×t       Afficher N et t    Fin Tant que Sortie :    Afficher N    Afficher t

TI- 82/83/84 (français) TI- 82/83/84 (anglais) TI- Nspire 89/92/V200 Casio Graph Prizm/fx-CG Casio Classpad fx-CP HP Prime 39GII Code: Select all 0→N 60→T While T>50    N+1→N    0.98*T→T    Disp {N,arrondir(T,2)} End Disp N Disp T Code: Select all 0→N 60→T While T>50    N+1→N    0.98*T→T    Disp {N,round(T,2)} End Disp N Disp T Code: Select all Define fr2016stlb()= Prgm    Local n,t    0→n    60→t    While t>50       n+1→n       0.98∙t→t       Disp n,round(t,2)    EndWhile    Disp n,t EndPrgm Code: Select all 0→N 60→T While T>50    N+1→N    0.98×T→T    {N,T}◢ WhileEnd N◢ T Code: Select all 0⇒n 60⇒t While t>50    n+1⇒n    0.98*t⇒t    Print {n,t} WhileEnd Print n Print t Code: Select all EXPORT FR2016STLB() BEGIN    N:=0;    T:=60;    WHILE T>50 DO       N:=N+1;       T:=0.98*T;       PRINT({N,ROUND(T,2)})    END;    PRINT(N);    PRINT(T) END;

D'où le tableau ainsi complété :

Valeur de N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Valeur de t (arrondie à 10-2)	60	58,80	57,62	56,47	55,34	54,24	53,15	52,09	51,05	50,02	49,02

Question 2)c)
Les valeurs affichées en sortie sont donc 10 et 49,02.

Alice peut donc en déduire que c'est au bout de 10 mois à compter de septembre 2015 qu'elle sera capable de courir les 10 premiers kilomètres en moins de 50 minutes, plus préciément en 49,02 minutes.

Question 2)d)
Par rapport à septembre 2015, le mois de novembre 2016 a pour rang 14.

En novembre 2016, Alice sera capable de courir les 10 premiers kilomètres en environ 45,2 minutes.
A 82% de cette vitesse, elle mettre environ minutes.
Pour 21km au lieu de 10km, cela donne donc environ .
Alice peut donc bien espérer courir le semi-marathon en moins de 120 minutes c'est-à-dire 2 heures, et donc sa qualifier.