Correction exo 3 (algo) BAC STL Bio 2016 (Polynésie, juin)
Posted: 17 Jun 2016, 14:04Correction de l'exercice 3 (algo) du sujet de BAC STL 2016 Spécialité Biotechnologies tombé en juin 2016 en Polynésie française.
Question 1)
2013 n'est pas une année bissextile car non multiple de 4, et a donc 365 jours.
Donc la production par seconde est bien de 49 kg à l'unité près.
Question 2)a)
La raison de la suite géométrique
Comme il s'agit de la production en millions de tonnes à compter de 2013, son premier terme est donc
Question 2)b)
Donc pour tout entier naturel n,
Question 3)
La production de déchets en 2020 est donc d'environ 1,91 millions de tonnes.
Question 4)
(car ln est une fonction croissante et
Or,
Donc
C'est à compter de
Question 5)a)
Pour compléter le tableau, on peut rajouter une instruction d'affichage des variables en fin de boucle et programmer l'algorithme sur calculatrice :
D'où le tableau complété :
Question 5)b)
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Pour, de compteur allant de 1 à 5.
Cette boucle est donc itérée 5 fois.
La variable u initialisée à
La variable S est initialisée à
En sortie d'algorithme, cette variable affichée vaudra donc la somme
Dans le contexte de l'exercice, l'algorithme donne donc la production totale de déchets en millions de tonnées pour les 6 années de 2013 à 2018.
Question 1)
2013 n'est pas une année bissextile car non multiple de 4, et a donc 365 jours.
$mathjax$\frac{1,55\times 10^6\times 1000}{365\times 24\times 3600}=\frac{1,55\times 10^9}{3,1536\times 10^7}\\
\phantom{\frac{1,55\times 10^6\times 1000}{365\times 24\times 3600}}=\frac{1,55\times 10^2}{3,1536}\\
\phantom{\frac{1,55\times 10^6\times 1000}{365\times 24\times 3600}}=\frac{155}{3,1536}\\
\phantom{\frac{1,55\times 10^6\times 1000}{365\times 24\times 3600}}\approx 49,2$mathjax$
\phantom{\frac{1,55\times 10^6\times 1000}{365\times 24\times 3600}}=\frac{1,55\times 10^2}{3,1536}\\
\phantom{\frac{1,55\times 10^6\times 1000}{365\times 24\times 3600}}=\frac{155}{3,1536}\\
\phantom{\frac{1,55\times 10^6\times 1000}{365\times 24\times 3600}}\approx 49,2$mathjax$
Donc la production par seconde est bien de 49 kg à l'unité près.
Question 2)a)
La raison de la suite géométrique
$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
est :$mathjax$\left(1+\frac{3}{100}\right)=1+0,03\\
\phantom{\left(1+\frac{3}{100}\right)}=1,03$mathjax$
\phantom{\left(1+\frac{3}{100}\right)}=1,03$mathjax$
Comme il s'agit de la production en millions de tonnes à compter de 2013, son premier terme est donc
$mathjax$u_0=1,55$mathjax$
.Question 2)b)
Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$u_n=u_0\times 1,03^n\\
\phantom{u_n}=1,55\times 1,03^n$mathjax$
\phantom{u_n}=1,55\times 1,03^n$mathjax$
Question 3)
$mathjax$2020=2013+7$mathjax$
$mathjax$u_7=1,55\times 1,03^7\\
\phantom{u_7}\approx 1,91$mathjax$
\phantom{u_7}\approx 1,91$mathjax$
La production de déchets en 2020 est donc d'environ 1,91 millions de tonnes.
Question 4)
$mathjax$u_n\geq 2\Leftrightarrow 1,55\times 1,03^n\geq 2\\
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow 1,03^n\geq\frac{2}{1,55}\\
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow ln\left(1,03^n\right)\geq ln\left(\frac{2}{1,55}\right)\\
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow n\times ln(1,03)\geq ln(2)-ln(1,55)\\
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow n\geq\frac{ln(2)-ln(1,55)}{ln(1,03)}$mathjax$
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow 1,03^n\geq\frac{2}{1,55}\\
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow ln\left(1,03^n\right)\geq ln\left(\frac{2}{1,55}\right)\\
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow n\times ln(1,03)\geq ln(2)-ln(1,55)\\
\phantom{u_n\geq 2}\Leftrightarrow n\geq\frac{ln(2)-ln(1,55)}{ln(1,03)}$mathjax$
(car ln est une fonction croissante et
$mathjax$ln(1,03)>0$mathjax$
Or,
$mathjax$\frac{ln(2)-ln(1,55)}{ln(1,03)}\approx 8,6$mathjax$
Donc
$mathjax$n\geq 9$mathjax$
.C'est à compter de
$mathjax$2013+9=2022$mathjax$
que la production dépassera 2 millions de tonnes.Question 5)a)
Pour compléter le tableau, on peut rajouter une instruction d'affichage des variables en fin de boucle et programmer l'algorithme sur calculatrice :
Algorithme | Programme | ||||||||||||
|
|
D'où le tableau complété :
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| u | 1,55 | 1,597 | 1,644 | 1,694 | 1,745 | 1,797 |
| S | 1,55 | 3,147 | 4,791 | 6,485 | 8,229 | 10,026 |
Question 5)b)
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Pour, de compteur allant de 1 à 5.
Cette boucle est donc itérée 5 fois.
La variable u initialisée à
$mathjax$u_0=1,55$mathjax$
et modifiée selon la relation de récurrence de la suite $mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
dans la boucle, y prend donc successivement les valeurs $mathjax$u_1$mathjax$
, $mathjax$u_2$mathjax$
, $mathjax$u_3$mathjax$
, $mathjax$u_4$mathjax$
et $mathjax$u_5$mathjax$
.La variable S est initialisée à
$mathjax$u_0=1,55$mathjax$
et se voit rajouter la nouvelle valeur de u à chaque itération de la boucle.En sortie d'algorithme, cette variable affichée vaudra donc la somme
$mathjax$u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5=\sum\limits_{k=0}^{5}u_k$mathjax$
.Dans le contexte de l'exercice, l'algorithme donne donc la production totale de déchets en millions de tonnées pour les 6 années de 2013 à 2018.