Correction algo exo 3 Obl. (A4) BAC S 2016 (France - juin)

[critor]

Correction algo exo 3 Obligatoire (A-4) du sujet de Maths des BAC S 2016 et tombé en France en juin 2016.

Question A)4)a)
L'algorithme s'articule autour d'une unique boucle Tant que de condition de poursuite

$mathjax$N-ln\left(N^2+1\right)<A$mathjax$

, pouvant encore s'écrire dans le contexte de notre exercice

$mathjax$f(N)<A$mathjax$

.
Il se termine donc sur la réalisation de la condition contraire

$mathjax$f(N)\geq A$mathjax$

.
La variable N, initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle est donc un entier naturel.
Donc l'algorithme recherche le plus petit entier naturel N tel que

$mathjax$f(N)\geq A$mathjax$

.

Question A)4)b)
Pour pouvoir justifier de la réponse, rajoutons une instruction d'affichage en fin de boucle et programmons l'algorithme sur notre calculatrice graphique :

Algorithme

Programme

Code: Select all Variables    N et A entiers naturels Entrée    Saisir la valeur de A Traitement    N prend la valeur 0    Tant que N-ln(N²+1)<A       N prend la valeur N+1       Afficher N, N-ln(N²+1) et A    Fin Tant que    Afficher N

TI- 82 83/84 TI- Nspire 89/92/V200 Casio Graph Prizm/fx-CG Casio Classpad fx-CP HP Prime 39GII Code: Select all Prompt A 0→N While N-ln(N²+1)<A    N+1→N    Disp {N,N-ln(N²+1),A} End N Code: Select all Define fr2016so(a)= Func    Local n    0→n    While n-ln(n²+1)<a       n+1→n       Disp n,n-ln(n²+1),a    EndWhile    Return n EndFunc Sur les modèles CAS, valider le lancement du programme avec pour bien avoir les affichages en écriture décimale. Code: Select all ?→A 0→N While N-ln(N²+1)<A    N+1→N    {N,N-ln(N²+1),A}◢ WhileEnd N Code: Select all Input a 0⇒n While n-ln(n^2+1)<a    n+1⇒n    Print {n,n-ln(n^2+1),a} WhileEnd Print n Code: Select all EXPORT FR2016SO(A) BEGIN    N:=0;    WHILE N-LN(N^2+1)<A DO       N:=N+1;       PRINT({N,N-LN(N^2+1),A})    END;    PRINT(N) END;

La fonction a ici une croissance assez lente, ce qui fait réitérer la boucle à l'algorithme une bonne 100aine de fois.
Il n'est donc pas attendu de reproduire la trace complète, mais on peut en donner le début et la fin pour justifier.

N	0	1	2	...	109	110
N-ln(N²+1)	0	0,3	0,4	...	99,6	100,6
A	100	100	100	...	100	100

La réponse est donc 110.