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Correction exo 4 (tableur) BAC S 2017 (Inde - avril 2017)

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Correction exo 4 (tableur) BAC S 2017 (Inde - avril 2017)

Unread postPosted: 26 Apr 2017, 13:17
by critor
Correction de l'exo 4 (suites + tableur) du sujet de Maths du BAC S 2017 tombé en Inde en avril 2017 : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2251



Question A)1) :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$u_{n+1} = 2 u_n - n + 3$mathjax$
.
Si la cellule B3 représente un+1, c'est la cellule B2 qui représente un et la cellule A2 qui représente n.
La formule saisie en B3 est donc : =2*B2-A2+3

Pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_n = 2^n$mathjax$
.
Si la cellule C3 représente vn, c'est la cellule A3 qui représente n.
La formule saisie en C3 est donc : =2^A3

Astuce : Vérifier les formules grâce à l'application tableur de la calculatrice :
Image




Question A)2) :
D'après ces 4 dernières valeurs, la suite
$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
semble diverger vers
$mathjax$+\infty$mathjax$
.

Les 4 valeurs correspondante de la suite
$mathjax$\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$mathjax$
sont :
  • $mathjax$\frac{3080}{1024}\approx 3,008$mathjax$
  • $mathjax$\frac{6153}{2048}\approx 3,004$mathjax$
  • $mathjax$\frac{12298}{4096}\approx 3,002$mathjax$
  • $mathjax$\frac{24587}{8192}\approx 3,001$mathjax$
La suite
$mathjax$\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$mathjax$
semble quant à elle converger vers 3.

Astuce : Les valeurs sont obtenables rapidement et sans erreur de saisie avec l'application tableur de la calculatrice :
Image




Question B)1) :
Démontrons par récurrence que pout tout entier naturel n, la propriété
$mathjax$u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2$mathjax$

  • Initialisation :
    Pour n=0,
    $mathjax$3 \times 2 ^ 0 + 0 - 2 = 3 \times 1 - 2\\
    \phantom{3 \times 2 ^ 0 + 0 - 2} = 3 - 2\\
    \phantom{3 \times 2 ^ 0 + 0 - 2} = 1\\
    \phantom{3 \times 2 ^ 0 + 0 - 2} = u_0\\$mathjax$

    La propriété est vraie au rang 0.
  • Hérédité :
    Supposons que la popriétée soit vraie à un certain rang n, c'est-à-dire que l'on ait
    $mathjax$u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2$mathjax$
    .
    Démontrons alors que la propriété est vraie au rang n+1, c'est-à-dire que l'on a
    $mathjax$u_{n+1} = 3 \times 2 ^ {n + 1} + n + 1 - 2$mathjax$
    , soit
    $mathjax$u_{n+1} = 3 \times 2 ^ {n+1} + n - 1$mathjax$

    $mathjax$u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2 \Leftrightarrow 2 u_n = 2 \left(3 \times 2 ^ n + n - 2\right)\\
    \phantom{u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2} \Leftrightarrow 2 u_n = 2 \times 3 \times 2 ^ n + 2 n - 2 \times 2\\
    \phantom{u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2} \Leftrightarrow 2 u_n = 6 \times 2 ^ n + 2 n - 4\\
    \phantom{u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2} \Leftrightarrow 2 u_n - n = 6 \times 2 ^ n + 2 n - 4 - n\\
    \phantom{u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2} \Leftrightarrow 2 u_n - n = 6 \times 2 ^ n + n - 4\\
    \phantom{u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2} \Leftrightarrow 2 u_n - n + 3 = 6 \times 2 ^ n + n - 4 + 3\\
    \phantom{u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2} \Leftrightarrow 2 u_n - n + 3 = 6 \times 2 ^ n + n - 1\\
    \phantom{u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2} \Leftrightarrow u_{n+1} = 6 \times 2 ^ n + n - 1$mathjax$
  • Conclusion :
    La propriété est donc héréditaire, et pour tout entier naturel n,
    $mathjax$u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2$mathjax$
    .



Question B)2) :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2$mathjax$
.
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}2^n=+\infty$mathjax$
car 2>1.
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}n-2=+\infty$mathjax$
.
Donc,
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty$mathjax$
, ce qui valide notre 1ère conjecture en A)2).



Question B)3) :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$u_n = 3 \times 2 ^ n + n - 2$mathjax$
.
$mathjax$3 \times 2 ^ n ≥ 1000000 \Leftrightarrow \frac{3 \times 2 ^ n}{3} >= \frac{1000000}{3}\\
\phantom{3 \times 2 ^ n ≥ 1000000} \Leftrightarrow 2 ^ n >= \frac{1000000}{3}\\
\phantom{3 \times 2 ^ n ≥ 1000000} \Leftrightarrow ln\left( 2 ^ n \right) >= ln\left( \frac{1000000}{3} \right)\\
\phantom{3 \times 2 ^ n ≥ 1000000} \Leftrightarrow n \times ln(2) >= ln\left( \frac{1000000}{3} \right)\\
\phantom{3 \times 2 ^ n ≥ 1000000} \Leftrightarrow n \times ln(2) >= ln\left( \frac{1000000}{3} \right)\\
\phantom{3 \times 2 ^ n ≥ 1000000} \Leftrightarrow \frac{n \times ln(2)}{ln(2)} >= \frac{ln\left( \frac{1000000}{3} \right)}{ln(2)}\\
\phantom{3 \times 2 ^ n ≥ 1000000} \Leftrightarrow n >= \frac{ln\left( \frac{1000000}{3} \right)}{ln(2)}$mathjax$

(car ln(2)>0)
Or,
$mathjax$\frac{ln\left( \frac{1000000}{3} \right)}{ln(2)} \approx 18,3$mathjax$
.
Donc pour
$mathjax$n≥19$mathjax$
,
$mathjax$n-2≥0$mathjax$
et
$mathjax$u_n≥1000000$mathjax$
.

$mathjax$u_{18} = 3 \times 2 ^ 18 + 18 - 2\\
\phantom{u_{18}} = 3 \times 262144 + 16\\
\phantom{u_{18}} = 786432 + 16\\
\phantom{u_{18}} = 786448$mathjax$

$mathjax$u_{18} < 1000000$mathjax$
, donc le rang du 1er terme supérieur à 1 million est 19.



Question C)1) :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n} = \frac{2 u_n - n + 3}{2 ^ {n + 1}}-\frac{u_n}{v_n}\\
\phantom{\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}} = \frac{2 u_n - n + 3}{2 ^ n \times 2 ^ 1}-\frac{u_n}{v_n}\\
\phantom{\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}} = \frac{2 u_n - n + 3}{2 \times 2 ^ n}-\frac{u_n}{v_n}\\
\phantom{\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}} = \frac{2 u_n - n + 3}{2 v_n}-\frac{u_n}{v_n}\\
\phantom{\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}} = \frac{2 u_n}{2 v_n} - \frac{n}{2 v_n} + \frac{3}{2 v_n} - \frac{u_n}{v_n}\\
\phantom{\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}} = \frac{u_n}{v_n} + \frac{3 - n}{2 v_n}-\frac{u_n}{v_n}\\
\phantom{\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}} = \frac{3 - n}{2 v_n}$mathjax$


Pour tout entier naturel n,
$mathjax$2^n>0$mathjax$
et donc
$mathjax$v_n>0$mathjax$
.
Donc
$mathjax$2 v_n>0$mathjax$
, et
$mathjax$\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}$mathjax$
est donc du signe de
$mathjax$3 - n$mathjax$
.
$mathjax$\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_n}{v_n}$mathjax$
est donc négatif pour
$mathjax$n≥3$mathjax$
, et la suite
$mathjax$\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$mathjax$
est donc décroissante à partir du rang 3.



Question C)2) :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$\frac{u_n}{v_n}=\frac{3 \times 2 ^ n + n - 2}{2 ^ n}\\
\phantom{\frac{u_n}{v_n}}=\frac{3 \times 2 ^ n}{2 ^ n} + \frac{n}{2 ^ n} - \frac{2}{2 ^ n}\\
\phantom{\frac{u_n}{v_n}}=3 + \frac{n}{2 ^ n} - \frac{1}{2 ^ {n - 1}}$mathjax$


$mathjax$0 < \frac{n}{2 ^ n} ≤ \frac{1}{n} \Leftrightarrow 3 + 0 < 3 + \frac{n}{2 ^ n} ≤ 3 + \frac{1}{n}\\
\phantom{0 < \frac{n}{2 ^ n} ≤ \frac{1}{n}} \Leftrightarrow 3 < 3 + \frac{n}{2 ^ n} ≤ 3 + \frac{1}{n}\\
\phantom{0 < \frac{n}{2 ^ n} ≤ \frac{1}{n}} \Leftrightarrow 3 - \frac{1}{2 ^ {n - 1}} < 3 + \frac{n}{2 ^ n} - \frac{1}{2 ^ {n - 1}} ≤ 3 + \frac{1}{n} - \frac{1}{2 ^ {n - 1}}\\
\phantom{0 < \frac{n}{2 ^ n} ≤ \frac{1}{n}} \Leftrightarrow 3 - \frac{1}{2 ^ {n - 1}} < \frac{u_n}{v_n} ≤ 3 + \frac{1}{n} - \frac{1}{2 ^ {n - 1}}$mathjax$


Or d'une part
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}n-1=+\infty$mathjax$
,
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}2^{n-1}=+\infty$mathjax$
,
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{1}{2 ^ {n - 1}}=0$mathjax$
et donc
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}3 - \frac{1}{2 ^ {n - 1}}=3$mathjax$
.

Et d'autre part
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{1}{2 ^ {n - 1}}=0$mathjax$
,
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{1}{n}=0$mathjax$
et donc
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}3 + \frac{1}{n} - \frac{1}{2 ^ {n - 1}}=3$mathjax$
.

Donc, d'après le théorème des gendarmes,
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}=3$mathjax$
, ce qui valide notre 2ème conjecture en A)2).

Re: Correction exo 4 (tableur) BAC S 2017 (Inde - avril 2017

Unread postPosted: 26 Apr 2017, 23:19
by Bisam
Personnellement, je n'aurais jamais corrigé la question B)1 en la rédigeant avec des équivalences.
Je trouve qu'il est particulièrement malsain de les utiliser lorsqu'elles ne sont pas nécessaires, puisqu'elles font croire à l'élève que l'on peut en mettre à tout bout de champ.

J'aurais simplement écrit :
Pour
$mathjax$n\in \mathbb{N}$mathjax$
, si on suppose que
$mathjax$u_n=3\times 2^n+n-2$mathjax$
alors on calcule
$mathjax$u_{n+1}=2u_n-n+3=2(3\times 2^n+n-2)-n+3=3\times 2^{n+1}+2n-4-n+3=3\times 2^{n+1}+(n+1)-2$mathjax$
.


Je n'aurais pas non plus rédigé la question C)2 avec des équivalences.
Une fois que l'on a écrit que
$mathjax$\frac{u_n}{v_n} = 3 + \frac{n}{2^n}-\frac{2}{2^n}$mathjax$
, on peut conclure avec la propriété admise dans l'énoncé que
$mathjax$\frac{n}{2^n}\rightarrow 0$mathjax$
par le théorème des gendarmes. On sait que
$mathjax$\frac{2}{2^n}\rightarrow 0$mathjax$
puisque
$mathjax$2^n\rightarrow +\infty$mathjax$
donc, par opérations sur les limites, on obtient
$mathjax$\frac{u_n}{v_n} \rightarrow 3+0+0=3$mathjax$
.

Le tout sans animosité : je sais bien que tu passes beaucoup de temps à la lourde tâche de traquer et corriger tous ces énoncés, critor !

Re: Correction exo 4 (tableur) BAC S 2017 (Inde - avril 2017

Unread postPosted: 26 Apr 2017, 23:36
by critor
Je n'avais nullement ressenti d'animosité, ne t'inquiète pas. :)

Merci pour tes remarques.
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