Correction exo 3 (algo) BAC ES/L 2017, Inde avril 2017

[critor]

Correction exercice n°3 (algo) du sujet de Maths du BAC ES/L 2017 en Inde :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2252

Question 1) :

$mathjax$u_1=u_{0+1}\\
\phantom{u_1}=0,8 u_0 + 45\\
\phantom{u_1}=0,8 \times 150 + 45\\
\phantom{u_1}=120 + 45\\
\phantom{u_1}=165$mathjax$

$mathjax$u_2=u_{1+1}\\
\phantom{u_2}=0,8 u_1 + 45\\
\phantom{u_2}=0,8 \times 165 + 45\\
\phantom{u_2}=132 + 45\\
\phantom{u_2}=177$mathjax$

Question 2)a) :
Les 2 algorithmes proposés s'articulent autour d'une boucle Tant que et différent par la seule condition d'arrêt de cette boucle.

La variable U représentant la valeur du terme u_N, nous souhaitons que l'algorithme que l'algorithme se termine avec

$mathjax$U≥220$mathjax$

.
La condition de poursuite de la boucle Tant que doît donc être contraire :

$mathjax$U<220$mathjax$

.
Le bon algorithme est donc l'algorithme 2.



Question 2)b) :
Pour obtenir la valeur retournée par l'algorithme, programmons-le sur notre calculatrice.
Rajoutons de plus un affichage de l'état des variables et de la condition de poursuite en fin de boucle, afin d'obtenir directement une pseudo-trace permettant de justifier de la réponse.

Algorithme

Programme

Code: Select all Variables :    N est un entier naturel    U est un nombre réel Initialisation :    U prend la valeur 150    N prend la valeur 0 Traitement :    Tant que U<220       U prend la valeur 0,8×U+45       N prend la valeur N+1       Afficher N, U et U<220    Fin Tant que    Afficher N

TI- 82/83/84 (+/Adv/Prem) TI- Nspire 89/92/V200 Casio Graph fx-CG Casio Classpad fx-CP HP Prime 39GII Code: Select all 150→U 0→N While U<220    0.8*U+45→U    N+1→N    Pause {N,U,U<220} End N Code: Select all Define inde2017es()= Func    Local n,u    150→u    0→n    While u<220       0.8·u+45→u       n+1→n       Disp n,u,u<220    EndWhile    Return n EndFunc Code: Select all 150→U 0→N While U<220    0.8×U+45→U    N+1→N    {N,U,U<220}◢ WhileEnd N Code: Select all 150⇒u 0⇒n While u<220    0.8*u+45⇒u    n+1⇒n    Print {n,u,judge(u<220)} WhileEnd Print n Code: Select all EXPORT INDE17ES() BEGIN    U:=150;    N:=0;    WHILE U<220 DO       U:=0.8*U+45;       N:=N+1;       PRINT({N,U,u<220});    END;    PRINT(N); END;

D'où la pseudo-trace de l'algorithme :

	N	U	U<220
Initialisation	0	150	1
1ère itération boucle Tant que	1	165	Vrai
2ème itération boucle Tant que	2	177	Vrai
3ème itération boucle Tant que	3	186,6	Vrai
4ème itération boucle Tant que	4	≈194,3	Vrai
5ème itération boucle Tant que	5	≈200,4	Vrai
6ème itération boucle Tant que	6	≈205,3	Vrai
7ème itération boucle Tant que	7	≈209,3	Vrai
8ème itération boucle Tant que	8	≈212,4	Vrai
9ème itération boucle Tant que	9	≈214,9	Vrai
10ème itération boucle Tant que	10	≈216,9	Vrai
11ème itération boucle Tant que	11	≈218,6	Vrai
12ème itération boucle Tant que	12	≈219,8	Vrai
13ème itération boucle Tant que	13	≈220,9	Faux

L'algorithme affichant la valeur de N, il retourne donc 13.



Question 3)a) :

$mathjax$v_0 = u_0 - 225\\
\phantom{v_0} = 150 - 225\\
\phantom{v_0} = -75$mathjax$

Pour tout entier naturel n,

$mathjax$v_{n+1} = u_{n+1} - 225\\
\phantom{v_{n+1}} = 0,8 u_n + 45 - 225\\
\phantom{v_{n+1}} = 0,8 u_n - 180\\
\phantom{v_{n+1}} = 0,8 \left(u_n - \frac{180}{0,8}\right)\\
\phantom{v_{n+1}} = 0,8 \left(u_n - 225\right)\\
\phantom{v_{n+1}} = 0,8 v_n$mathjax$

Donc

$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$

est une suite géométrique de raison

$mathjax$q = 0,8$mathjax$

et de premier terme

$mathjax$v_0 = -75$mathjax$

.



Question 3)b) :
D'où pour tout entier naturel n,

$mathjax$v_n = v_0 \times q^n\\
\phantom{v_n} = -75 \times 0,8^n$mathjax$

Donc pour tout entier naturel n :

$mathjax$v_n = u_n - 225 \Leftrightarrow v_n + 225 = u_n - 225 + 225\\
\phantom{v_n = u_n - 225} \Leftrightarrow v_n + 225 = u_n\\
\phantom{v_n = u_n - 225} \Leftrightarrow u_n = v_n + 225\\
\phantom{v_n = u_n - 225} \Leftrightarrow u_n = -75 \times 0,8^n + 225\\
\phantom{v_n = u_n - 225} \Leftrightarrow u_n = 225 - 75 \times 0,8^n$mathjax$

Question 4) :
Posons w_n le nombre d participants pour l'année 2015+n.
En 2015=2015+0 il y a 150 participants, soit

$mathjax$w_0 = 150$mathjax$

.
Pour tout entier naturel n,

$mathjax$w_{n+1} = \left(1-\frac{20}{100}\right) w_n + 45\\
\phantom{w_{n+1}} = \left(1 - 0,2\right) w_n + 45\\
\phantom{w_{n+1}} = 0,8 w_n + 45$mathjax$

On retrouve la définition par récurrence de la suite

$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$

, et donc pour tout entier naturel n,

$mathjax$w_n=u_n$mathjax$

.

Pour tout entier naturel n,

$mathjax$0,8^n > 0 \Leftrightarrow 75 \times 0,8^n > 0\\
\phantom{0,8^n > 0} \Leftrightarrow -75 \times 0,8^n < 0\\
\phantom{0,8^n > 0} \Leftrightarrow -75 \times 0,8^n + 225 < 0 + 225\\
\phantom{0,8^n > 0} \Leftrightarrow 225 -75 \times 0,8^n < 225\\
\phantom{0,8^n > 0} \Leftrightarrow u_n < 225$mathjax$

Donc pour tout entier naturel n,

$mathjax$u_n < 250$mathjax$

.
Il n'y aura jamais besoin de refuser du monde.