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Correction exercice n°2 (algo) du sujet de Maths du BAC ES/L 2017 en Amérique du Nord :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=1860

Question 1)a) :
En septembre 2016, nous avons 27500 étudiants.
150 étudiants démissionnent en cours d'années scolaire, ce qui fait donc en juin 2016 : étudiants.

Question 1)b) :
L'effectif augmente de 4% avant la rentrée, ce qui donne en septembre 2016 :
étudiants.

Question 2) :
Donc, pour tout entier naturel n,

Question 3) :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Tant que.
On souhaite que l'algorithme se termine sur l'année à partir e laquelle le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l'établissement.
Cette capacité est de 33000, et l'événement se traduit donc dans le langage de l'algorithme par .
La condition de poursuite de la boucle Tant que est donc l'événement contraire : .
D'où la ligne L5 complétée :
L5: Tant que U≤33000 faire

Les variables U et n représente respectivement la valeur du terme et son rang.
La boucle sert à passer au terme suivant.
Dans le corps de la boucle, la variable n doit donc être incrémentée de 1.
D'où la ligne L6 complétée :
L6: n prend la valeur n+1
La variable U quant à elle subit l'affectation récursive correspondant à la relation de récurrence de la suite .
D'où la ligne L7 complétée :
L7: U prend la valeur 1,04U-156

Enfin, l'algorithme doit afficher non pas le rang mais l'année.
D'où la ligne L9 complétée :
L9: Sortie: Afficher n+2016

Question 4)a) :
Rajoutons un affichage de l'état des variables en fin d'itération de la boucle, et programmons-le sur notre calculatrice graphique afin d'obtenir directement le tableau à recopier.

Algorithme

Programme

Code: Select all Variables :    n est un nombre entier naturel    U est un nombre réel Initialisation :    n prend la valeur 0    U prend la valeur 27500 Traitement :    Tant que U≤33000 faire       n prend la valeur n+1       U prend la valeur 1,04U-156       Afficher n et U    Fin Tant que Sortie :    Afficher n+2016

TI- 82/83/84 (français) TI- 82/83/84 (anglais) TI- Nspire 89/92/V200 Casio Graph fx-CG Casio Classpad fx-CP HP Prime 39GII Code: Select all 0→N 27500→U While U≤33000    N+1→N    1.04U-156→U    Disp {N,arrondir(U,0)} End N+2016 Code: Select all 0→N 27500→U While U≤33000    N+1→N    1.04U-156→U    Disp {N,round(U,0)} End N+2016 Code: Select all Define amern2017es()= Func    Local n,u    0→n    27500→u    While u≤33000       n+1→n       1.04·u-156→u       Disp n,round(u,0)    EndWhile    Return n+2016 EndFunc Code: Select all 0→N 27500→U While U≤33000    N+1→N    1.04×U-156→U    {N,U}◢ WhileEnd N+2016 Code: Select all 0⇒n 27500⇒u While u≤33000    n+1⇒n    1.04*u-156⇒u    Print {n,u} WhileEnd Print n+2016 Code: Select all EXPORT AMERN17ES() BEGIN    N:=0;    U:=27500;    WHILE U≤33000 DO       N:=N+1;       U:=1.04*U-156;       PRINT({N,U});    END;    PRINT(N+2016); END;

D'où le tableau ainsi complété :

	Initialisation	Etape 1	Etape 2	Etape 3	Etape 4	Etape 5	Etape 6
Valeur de n	0	1	2	3	4	5	6
Valeur de U	27500	28444	29426	30447	31509	32613	33762

Question 4)b) :
La variable N valant 6 en sortir, l'algorithme affiche donc .

Question 5)a) :
Pour tout entier naturel n, .
Donc pour tout entier naturel n :

est donc une suite géométrique de raison et de premier terme

Question 5)b) :
Donc pour tout entier naturel n :

Or, .
Donc pour tout entier naturel n :
.

Question 5)c) :
car .
Donc et
Le Président a donc raison d'être inquiet.
Car non seulement la capacité d'accueil va être dépassée, mais de plus selon cette modélisation une simple extension de l'université ne sera en aucun cas une solution permettant de couvrir les besoins.