Correction exo 2 non-spé (algo) BAC ES/L 2017 (Antilles-G.)

[critor]

Correction exercice n°2 non-spé (algo) du sujet de Maths du BAC ES/L 2017 d'Antilles-Guyane :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2197

Question 1) :

$mathjax$u_0=75$mathjax$

Chaque jour, 4% de la quantité d'eau s'évaporent.

$mathjax$u_0\left(1-\frac{4}{100}\right)=75(1-0,04)\\
\phantom{u_0\left(1-\frac{4}{100}\right)}=75\times 0,96\\
\phantom{u_0\left(1-\frac{4}{100}\right)}=72$mathjax$

Mais on rajoute automatiquement 2m³.
Donc

$mathjax$u_1=72+2\\
\phantom{u_1}=74$mathjax$

De même,

$mathjax$u_2=u_1\left(1-\frac{4}{100}\right)+2\\
\phantom{u_2}=74\times 0,96+2\\
\phantom{u_2}=71,04+2\\
\phantom{u_2}=73,04$mathjax$

Question 2) :

$mathjax$u_1-u_0=74-75\
\phantom{u_1-u_0}=-1$mathjax$

$mathjax$u_2-u_1=73,04-74\
\phantom{u_2-u_1}=-0,96$mathjax$

$mathjax$u_2-u_1≠u_1-u_0$mathjax$

donc la suite

$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$

n'est pas arithmétique.

$mathjax$\frac{u_1}{u_0}=\frac{74}{75}$mathjax$

$mathjax$\frac{u_2}{u_1}=\frac{73,04}{74}\\
\phantom{\frac{u_2}{u_1}}=\frac{7304}{7400}\\
\phantom{\frac{u_2}{u_1}}=\frac{913}{925}$mathjax$

$mathjax$\frac{u_2}{u_1}≠\frac{u_1}{u_0}$mathjax$

donc la suite

$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$

n'est pas géométrique.

Question 3) :
Comme déjà détaillé en question 1), pour tout entier naturel n :

$mathjax$u_{n+1}=u_n\left(1-\frac{4}{100}\right)+2\\
\phantom{u_2}=0,96 u_n+2$mathjax$

Question 4)a) :

$mathjax$v_n=u_n-50\Leftrightarrow u_n=v_n+50$mathjax$

Pour tout entier naturel n :

$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}-50\\
\phantom{v_{n+1}}=0,96 u_n+2-50\\
\phantom{v_{n+1}}=0,96 u_n-48\\
\phantom{v_{n+1}}=0,96(v_n+50)-48\\
\phantom{v_{n+1}}=0,96 v_n+0,96\times 50-48\\
\phantom{v_{n+1}}=0,96 v_n+48-48\\
\phantom{v_{n+1}}=0,96 v_n$mathjax$

Donc

$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$

est une suite géométrique de raison

$mathjax$q=0,96$mathjax$

et de premier terme

$mathjax$v_0=u_0-50\\
\phantom{v_0}=75-50\\
\phantom{v_0}=25$mathjax$

.

Question 4)b) :
Donc pour tout entier naturel n :

$mathjax$v_n=v_0 q^n\\
\phantom{v_n}25\times 0,96^n$mathjax$

Question 4)c) :
Donc pour tout entier naturel n :

$mathjax$u_n=v_n+50\\
\phantom{u_n}=25\times 0,96^n+50$mathjax$

Question 4)d) :

$mathjax$\lim\limits_{n\to\infty} 0,96^n=0$mathjax$

car

$mathjax$0,96<1$mathjax$

.
Donc

$mathjax$\lim\limits_{n\to\infty} u_n=25\times 0+50\\
\phantom{\lim\limits_{n\to\infty} u_n}=0+50\\
\phantom{\lim\limits_{n\to\infty} u_n}=50$mathjax$

A long terme, la quantité d'eau stabilisera son recul autour de 40m³.

Question 5)a) :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Tant que.
Il utilise 2 variables :

• l'entier n qui est initialisée à 0 puis incrémentée de 1 dans le corps de la boucle est donc le nombre de jours écoulés
• le réel u qui est initialisé à
  $mathjax$u_0=75$mathjax$
  est donc la quantité d'eau de la piscine

A chaque fois qu'un jour s'écoule, la variable u doit donc être modifiée selon la relation de récurrence

$mathjax$u_{n+1}=0,96 u_n+2$mathjax$

:
L6 : u prend la valeur 0,96u+2

On souhaite que l'algorithme détermine le nombre de jours au bout duquel la quantité devient inférieure à 65m³, c'est-à-dire u≤65.
La recherche via la boucle Tant que doit donc se poursuivre tant que l'on n'obtient pas cette condition.
Sa condition de poursuite est donc le contraire : u>65.
L5 : Tant que u>65

Question 5)b) :

Pour obtenir le résultat ainsi que sa justification avec la trace par itération, rajoutons une instruction d'affichage en fin de boucle et programmons l'algorithme sur notre calculatrice graphique.

Algorithme

Programme

Code: Select all Variables :    n entier naturel    u réel Traitement :    n prend pour valeur 0    u prend pour valeur 75    Tant que u>65       u prend la valeur 0,96u+2       n prend la valeur n+1       Afficher n, u et u>65    Fin Tant que Sortie :    Afficher n

TI- 82 83/84 TI- Nspire 89/92/V200 Casio Graph Prizm/fx-CG Casio Classpad fx-CP HP Prime 39GII Code: Select all 0→N 75→U While U>65    0.96U+2→U    N+1→N    Pause {N,U,U>65} End N Code: Select all Define ag2017es()= Func    Local n,u    0→n    75→u    While u>65       0.96·u+2→u       n+1→n       Disp n,u,u>65    EndWhile    Return n EndFunc Code: Select all 0→N 75→U While U>65    0.96U+2→U    N+1→N    {N,U,U>65}◢ WhileEnd N Code: Select all SetDecimal 0⇒n 75⇒u While u>65    0.96u+2⇒u    n+1⇒n    Print {n,u,judge(u>65)} WhileEnd Return n Code: Select all EXPORT ag2017es() BEGIN    N:=0;    U:=75;    WHILE U>65 DO       U:=0.96*U+2;       N:=N+1;    END;    RETURN N; END;

Voici la trace par itération de l'algorithme :

n	u	u>65
0	65	Vrai
1	74	Vrai
2	73,0	Vrai
3	72,1	Vrai
4	71,2	Vrai
5	70,4	Vrai
6	69,6	Vrai
7	68,8	Vrai
8	68,0	Vrai
9	67,3	Vrai
10	66,6	Vrai
11	66,0	Vrai
12	65,3	Vrai
13	64,7	Faux

Donc la valeur retournée est 13.

Question 5)c) :
Le niveau d'eau sera donc suffisant pendant 13 jours.