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Question A) :
La fonction f est une fonction affine dont la représentation graphique est une droite.
Donc la fonction f ne convient pas.
Calculons les ordonnées à l'origine :
$mathjax$g(0)=3,4e^{-0,223\times 0}\\
\phantom{g(0)}=3,4e^0\\
\phantom{g(0)}=3,4\times 1\\
\phantom{g(0)}=3,4$mathjax$
\phantom{g(0)}=3,4e^0\\
\phantom{g(0)}=3,4\times 1\\
\phantom{g(0)}=3,4$mathjax$
$mathjax$h(0)=\frac{9}{3+0}\\
\phantom{h(0)}=\frac{9}{3}\\
\phantom{h(0)}=3$mathjax$
\phantom{h(0)}=\frac{9}{3}\\
\phantom{h(0)}=3$mathjax$
$mathjax$h(0)≠3,4$mathjax$
et donc la courbe représentative de la fonction h ne passe pas par le point de coordonnées $mathjax$(0;3,4)$mathjax$
.La fonction h ne convient pas.
C'est donc la fonction h par élimination.
Question B)1)a) :
$mathjax$C_0=3,4$mathjax$
$mathjax$C_1=2,72$mathjax$
$mathjax$C_2=2,176$mathjax$
Question B)1)b) :
La suite
$mathjax$\left(C_n\right)$mathjax$
semble décroissante.Question B)2)a) :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$C_{n+1}=C_n\left(1-\frac{20}{100}\right)\\
\phantom{C_{n+1}}=C_n(1-0,2)\\
\phantom{C_{n+1}}=0,8 C_n$mathjax$
\phantom{C_{n+1}}=C_n(1-0,2)\\
\phantom{C_{n+1}}=0,8 C_n$mathjax$
La suite
$mathjax$\left(C_n\right)$mathjax$
est géométrique de raison $mathjax$q=0,8$mathjax$
.Donc pour tout entier naturel n :
$mathjax$C_n=C_0 q^n\\
\phantom{v_n}=3,4\times 0,8^n$mathjax$
\phantom{v_n}=3,4\times 0,8^n$mathjax$
Question B)2)b) :
$mathjax$\lim\limits_{n\to +\infty}0,8^n=0$mathjax$
car $mathjax$0<0,8<1$mathjax$
.Donc
$mathjax$\lim\limits_{n\to +\infty}C_n=3,4\times 0\\
\phantom{\lim\limits_{n\to +\infty}C_n}=0$mathjax$
\phantom{\lim\limits_{n\to +\infty}C_n}=0$mathjax$
Question B)3) :
Pour obtenir le résultat ainsi que sa justification avec la trace par itération, rajoutons une instruction d'affichage en fin de boucle et programmons l'algorithme sur notre calculatrice graphique.
Algorithme | Programme | ||||||||||
|
|
Voici la trace par itération de l'algorithme :
| n | C | C>1 |
| 1 | 2.72 | Vrai |
| 2 | 2.176 | Vrai |
| 3 | 1.7408 | Vrai |
| 4 | 1.39264 | Vrai |
| 5 | 1.11411 | Vrai |
| 6 | 0.89129 | Faux |
L'algorithme affiche la valeur de n et donc 6.
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Tant que de condition de poursuite C>1.
Il se termine donc sur la réalisation de la condition contraire : C≤1.
Il utilise 2 variables :
- l'entier n initialisé à 0 et incrémenté de 1 dans la boucle est donc le nombre d'heures
- le réel C initialisé à $mathjax$C_0=3,4$mathjax$et modifié dans la boucle selon la relation de récurrence$mathjax$C_{n+1}=0,8 C_n$mathjax$est donc la concentration
L'algorithme affichant la valeur de n, il donne donc le nombre d'heures au bout duquel le concentration sera inférieure ou égale à 1.
Question B)4)a) :
C'est donc à
$mathjax$7+6=13h$mathjax$
qu'aura lieu la 2ème injection.Question B)4)b) :
$mathjax$C_6=3,4\times 0,8^6\\
\phantom{C_6}\approx 0,9$mathjax$
\phantom{C_6}\approx 0,9$mathjax$
Donc la concentration après injection sera de
$mathjax$0,9+3,4=4,3μg·L^{-1}$mathjax$
Question B)4)c) :
Soit
$mathjax$D_n$mathjax$
la concentration du médicament n heures après la 2ème injection.De même, pour tout entier naturel n,
$mathjax$D_{n+1}=0,8 D_n$mathjax$
et $mathjax$D_n=D_0 q^n\\
\phantom{D_n}=4,3\times 0,8^n$mathjax$
.\phantom{D_n}=4,3\times 0,8^n$mathjax$
$mathjax$D_n≤1\Leftrightarrow 4,3\times 0,8^n≤1\\
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow \frac{4,3\times 0,8^n}{4,3}≤\frac{1}{4,3}\\
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow 0,8^n≤\frac{1}{4,3}\\
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow ln\left(0,8^n\right)≤ln\left(\frac{1}{4,3}\right)
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow n ln(0,8)≤ln\left(\frac{1}{4,3}\right)\\
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow \frac{n ln(0,8)}{ln(0,8)}≥\frac{ln\left(\frac{1}{4,3}\right)}{ln(0,8)}\text{ car }ln(0,8)<1\\
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow n≥\frac{ln\left(\frac{1}{4,3}\right)}{ln(0,8)}$mathjax$
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow \frac{4,3\times 0,8^n}{4,3}≤\frac{1}{4,3}\\
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow 0,8^n≤\frac{1}{4,3}\\
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow ln\left(0,8^n\right)≤ln\left(\frac{1}{4,3}\right)
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow n ln(0,8)≤ln\left(\frac{1}{4,3}\right)\\
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow \frac{n ln(0,8)}{ln(0,8)}≥\frac{ln\left(\frac{1}{4,3}\right)}{ln(0,8)}\text{ car }ln(0,8)<1\\
\phantom{D_n≤1}\Leftrightarrow n≥\frac{ln\left(\frac{1}{4,3}\right)}{ln(0,8)}$mathjax$
Or,
$mathjax$\frac{ln\left(\frac{1}{4,3}\right)}{ln(0,8)}\approx 6,5$mathjax$
.Donc
$mathjax$n≥7$mathjax$
.C'est donc à
$mathjax$13+7=20h$mathjax$
qu'aura lieu la 2èmeinjection.
