Les sommes

[kinkazma]

Bonjour,

Je recherche des sommes qui donnent pour résultats des nombres, des calculs...
l’idéal c’est des sommes ne faisant intervenir que des additions ou soustractions (mais faut pas être trop exigeant) qui partent de 1 ou 0 et qui vont à l’infini positif.

Comme :

∑(x/2^d,d,1,inf)
//-> x
∑(1/(x+1)^d,d,1,inf)
//-> 1/x

J’ai pour problème de trouver une somme qui donne x^2. Je suis proche mais j’ai l’impression d’être comme derrière un mur très fin. Il faut que j’en fasse le tour. J’arrive à obtenir ((x^(2))-1)

∑(((x)-(1/(x)))^(d)/((x)^(d)),d,1,inf)
//-> x^2-1

Ou ma dernière avancée :
∑(x,a,1,x)
//-> x^2

Le souci étant que ça va de 1 à x et non pas de 1 à l’infini...

Je ne connais pas de meilleur forum pour poser une telle question.
Toute aide est la bienvenue, surtout après des semaines à échouer.

Il m’a été facile d’obtenir des résultats rigolo comme :
∑(n/10^n,n,1,inf) = 0.123456790123... (j’ai essayé d’avoir 8 avant de comprendre pourquoi c’était impossible... quel bêta !)
∑(n/4^n,n,1,inf) = 4/9 = 0.444...
∑(π/n^1/π,n,1,2*π) = 2.45 (de tête mais à voir.)
∑(n/2^n,n,1,inf) = 2 (de tête)
∑(1/(d*d),d,1,inf) = (π^2)/6
∑((A)*(1/(B+1)^(d)),d,1,inf) = A/B
∑(A,D,0,B-1) = AB
∑(A,D,0,1/B-1) = A/B
∑(1/(d^n),d,1,inf)=ζ(n)

Mais ce sur quoi je bloque c’est x^2. Help !

[critor]

Bonjour.

∑(((x)-(1/(x)))^(d)/((x)^(d)),d,1,inf)
//-> x^2-1

$mathjax$\sum\limits_{d=1}^{+\infty}{\frac{\left(x-\frac{1}{x}\right)^d}{x^d}}$mathjax$

si je déchiffre bien tend donc vers

$mathjax$x^2-1$mathjax$

.

Et bien alors tu as fait le plus dur, c'est très simple.
Il te suffit de trouver n'importe quelle somme similaire qui tende vers 1, ce que tu peux d'ailleurs fabriquer à partir de n'importe quelle somme similaire tendant vers une constante.

[kinkazma]

Merci, si je veux avoir 1 c’est pas compliqué, Sum(1/2^n,n,1,inf) = 1
(Petite erreur, ta somme commence à 0, c’est plutôt 1)

Donc ce qui donne :
∑(((x)-(1/(x)))^(d)/((x)^(d))+(1/(2^(d))),d,1,inf)
//-> x^2

C’est superbe merci !

[critor]

Par exemple, félicitations pour avoir trouvé !

J'ai corrigé pour les éventuels prochains lecteurs, merci.

[kinkazma]

Pour ceux qui seraient intéressés par un développement plus joli que le machin qui ressemble à une fusion malsaine entre deux calculs différents j’ai développé le calcul en 3 autres versions.

∑(((x)-(1/(x)))^(d)/((x)^(d))+(1/(2^(d))),d,1,inf)
∑((2^(-d)*x^(-d)*(x^d+2^d*(x-1/x)^d)),d,1,inf)
∑((x-1/x)^d*x^(-d)+2^(-d),d,1,inf)
∑((-(1-x^2)/x)^d*x^(-d)+2^(-d),d,1,inf)