Problème de dérivée
Posted: 03 Apr 2024, 20:18Bonjour,
Pourrait-on m'expliquer comment ils trouvent ça lors de cette dérivation ? Merci
Pourrait-on m'expliquer comment ils trouvent ça lors de cette dérivation ? Merci
$mathjax$f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$mathjax$
avec $mathjax$u(x)=e^x - e^{-x}$mathjax$
et $mathjax$v(x)= e^x+e^{-x}$mathjax$
Or
$mathjax$f$mathjax$
est la forme $mathjax$\dfrac{u}{v}$mathjax$
donc sa dérivée est $mathjax$f'=\dfrac{u' v - u v'}{v^2}$mathjax$
Par ailleurs, la dérivée de
$mathjax$e^x$mathjax$
est $mathjax$e^x$mathjax$
et la dérivée de $mathjax$e^{-x}$mathjax$
est $mathjax$-e^{-x}$mathjax$
donc on obtient : $mathjax$u'(x)=e^x- \left( -e^{-x}\right) = e^x+e^{-x}$mathjax$
et en fait on retrouve, dans ce cas très particulier, l'expression de $mathjax$v(x)$mathjax$
$mathjax$v'(x)=e^x+(-e^{-x}) = e^x - e^{-x}$mathjax$
et en fait on retrouve, dans ce cas très particulier, l'expression de $mathjax$u(x)$mathjax$
Donc finalement, dans ce cas très particulier, on a
$mathjax$u' v = v^2$mathjax$
et $mathjax$u v' = u^2$mathjax$
Ainsi,
$mathjax$f'=\dfrac{u' v - u v'}{v^2}=\dfrac{v^2-u^2}{v^2}$mathjax$
Donc
$mathjax$f'(x)=\dfrac{\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}=\dfrac{\left(e^x \right)^2+2e^xe^{-x}+\left(e^{-x}\right)^2- \left(\left(e^x \right)^2-2e^xe^{-x}+\left(e^{-x}\right)^2 \right)}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}$mathjax$
Donc
$mathjax$f'(x)=\dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}=\dfrac{4}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}$mathjax$
d'où le résultat annoncé.