Correction algorithme BAC S France septembre 2012

[critor]

Nous revoilà encore avec cette fois-ci l'algorithme qui est tombé au BAC S 2012 en France, à la session de remplacement de septembre 2012 :

C'est donc une situation type en série S, où l'algorithme tombe souvent dans le contexte de suites définies par récurrence.

Comme souvent dans ce cas, l'algorithme réimplémente la suite à l'aide d'une boucle et de deux variables.

La variable n jour le rôle de l'indice, comme le montrent les instructions suivantes d'initialisation et d'incrémentation:

• Affecter à n la valeur 0
• Affecter à n la valeur n+1

On a d'une part pour la suite:

• d₀=1
• d_n+1=0,5d_n²

Et on retrouve ces deux mêmes informations dans l'algorithme:

• Affecter à d la valeur 1
• Affecter à d la valeur 0,5d²

La variable d prend donc les valeurs des termes de la suite d_n.


Première question:
On entre donc la valeur 9 pour p et l'algorithme nous répond 5.

Cela veut donc dire qu'en sortie de l'algorithme on a n=5.

Mais si l'algorithme se termine, c'est que la boucle 'tant que' s'est terminée sur la réalisation du contraire de d>10^-p, c'est-à-dire d≤10^-p.

Comme p=9 et comme on termine avec n=5, on en déduit l'inégalité d₅≤10^-9.



Deuxième question:
On sait donc que d₅≤10^-9.

Or, on a montré au 4)a) que pour tout entier n≥0, u_n-√7≤d_n.
On en déduit donc pour n=5, u₅-√7≤d₅.

On obtient ainsi par transitivité u₅-√7≤10^-9, soit u₅≤√7+10^-9.

Or, d'après 1)b) on sait que pour tout entier n≥0, u_n≥√7.
Donc pour n=5, u₅≥√7

On a donc l'encadrement √7≤u₅≤√7+10^-9.

u₅ est donc bien une valeur approchée de √7 à 10^-9 près.



Lien:
BAC S 2013: Annales des sujets inédits corrigées