Correction algorithme BAC S France septembre 2012
Posted: 22 Apr 2013, 15:55Nous revoilà encore avec cette fois-ci l'algorithme qui est tombé au BAC S 2012 en France, à la session de remplacement de septembre 2012 :
C'est donc une situation type en série S, où l'algorithme tombe souvent dans le contexte de suites définies par récurrence.
Comme souvent dans ce cas, l'algorithme réimplémente la suite à l'aide d'une boucle et de deux variables.
La variable n jour le rôle de l'indice, comme le montrent les instructions suivantes d'initialisation et d'incrémentation:
On a d'une part pour la suite:
Et on retrouve ces deux mêmes informations dans l'algorithme:
La variable d prend donc les valeurs des termes de la suite dn.
Première question:
On entre donc la valeur 9 pour p et l'algorithme nous répond 5.
Cela veut donc dire qu'en sortie de l'algorithme on a n=5.
Mais si l'algorithme se termine, c'est que la boucle 'tant que' s'est terminée sur la réalisation du contraire de d>10-p, c'est-à-dire d≤10-p.
Comme p=9 et comme on termine avec n=5, on en déduit l'inégalité d5≤10-9.
Deuxième question:
On sait donc que d5≤10-9.
Or, on a montré au 4)a) que pour tout entier n≥0, un-√7≤dn.
On en déduit donc pour n=5, u5-√7≤d5.
On obtient ainsi par transitivité u5-√7≤10-9, soit u5≤√7+10-9.
Or, d'après 1)b) on sait que pour tout entier n≥0, un≥√7.
Donc pour n=5, u5≥√7
On a donc l'encadrement √7≤u5≤√7+10-9.
u5 est donc bien une valeur approchée de √7 à 10-9 près.
Lien:
BAC S 2013: Annales des sujets inédits corrigées
C'est donc une situation type en série S, où l'algorithme tombe souvent dans le contexte de suites définies par récurrence.
Comme souvent dans ce cas, l'algorithme réimplémente la suite à l'aide d'une boucle et de deux variables.
La variable n jour le rôle de l'indice, comme le montrent les instructions suivantes d'initialisation et d'incrémentation:
- Affecter à n la valeur 0
- Affecter à n la valeur n+1
On a d'une part pour la suite:
- d0=1
- dn+1=0,5dn2
Et on retrouve ces deux mêmes informations dans l'algorithme:
- Affecter à d la valeur 1
- Affecter à d la valeur 0,5d2
La variable d prend donc les valeurs des termes de la suite dn.
Première question:
On entre donc la valeur 9 pour p et l'algorithme nous répond 5.
Cela veut donc dire qu'en sortie de l'algorithme on a n=5.
Mais si l'algorithme se termine, c'est que la boucle 'tant que' s'est terminée sur la réalisation du contraire de d>10-p, c'est-à-dire d≤10-p.
Comme p=9 et comme on termine avec n=5, on en déduit l'inégalité d5≤10-9.
Deuxième question:
On sait donc que d5≤10-9.
Or, on a montré au 4)a) que pour tout entier n≥0, un-√7≤dn.
On en déduit donc pour n=5, u5-√7≤d5.
On obtient ainsi par transitivité u5-√7≤10-9, soit u5≤√7+10-9.
Or, d'après 1)b) on sait que pour tout entier n≥0, un≥√7.
Donc pour n=5, u5≥√7
On a donc l'encadrement √7≤u5≤√7+10-9.
u5 est donc bien une valeur approchée de √7 à 10-9 près.
Lien:
BAC S 2013: Annales des sujets inédits corrigées