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La génération de bacheliers 2013 issue de la réforme du lycée vient de passer ses épreuves de BTS 2ème année.
Conformément au nouveau programme de BTS conçu dans la continuité du lycée, l'épreuve de Mathématiques du groupement B comportait une étude d'algorithme.

L'algorithme recherchait par dichotomie sur l'intervalle [5;6] un encadrement de la solution t₀ de l'équation f(t)=2,51.



C)2)a) Une calculatrice graphique peut nous fournir très facilement le tableau de valeurs demandé à recopier, à condition d'y programmer l'algorithme fourni, et d'y rajouter au bon endroit l'affichage des informations demandées dans le tableau.
Comme la 1ère étape doit afficher les valeurs initiales 5 et 6 des variables a et b d'après les cases déjà remplies, et la valeur de la variable m qui n'est pas affectée avant la boucle, cet affichage ira dans la boucle, juste après l'affectation de la variable m, et donc avant les modifications des variables a et b.

Algorithme

Programme

Code: Select all Variables :    a, b, m Initialisation :    a prend la valeur 5    b prend la valeur 6 Traitement :    Tant que b-a>0,1    |   m prend la valeur (a+b)/2    |   Afficher a, b, m et b-a    |   Si f(m)>2,51 alors    |   |   a prend la valeur m    |   sinon    |   |   b prend la valeur m    |   Fin de Si    Fin de Tant que Sortie :    Afficher a et b

TI- 82/83/84 (français) TI- 82/83/84 (anglais) TI- Nspire 89/92/V200 Casio Graph Prizm/fx-CG Casio Classpad fx-CP HP Prime 39GII Code: Select all Chaîne►Équ("3e^(-X)-0.5e^(-4X)+2.5",Y1 5→A 6→B While B-A>0.1    (A+B)/2→M    Disp {A,B,M,B-A    If Y1(M)>2.51    Then       M→A    Else       M→B    End End Disp A,B Code: Select all String►Equ("3e^(-X)-0.5e^(-4X)+2.5",Y1 5→A 6→B While B-A>0.1    (A+B)/2→M    Disp {A,B,M,B-A    If Y1(M)>2.51    Then       M→A    Else       M→B    End End Disp A,B Code: Select all Define bts2015frb()= Prgm    Define f(t)=3·e^(-t)-0.5·e^(−4·t)+2.5    5→a    6→b    While b-a>0.1       (a+b)/2→m       Disp a,b,m,b-a       If f(m)>2.51 Then          m→a       Else          m→b       EndIf    EndWhile    Disp a,b EndPrgm Sur une TI-Nspire CAS, pour avoir des résultats en écriture décimale, on validera le lancement du programme avec . Code: Select all "3e^(-x)-0.5e^(-4x)+2.5"→Y1 5→A 6→B While B-A>0.1    (A+B)÷2→M    {A,B,M,B-A}◢    If Y1(M)>2.51    Then M→A    Else M→B    IfEnd WhileEnd {A,B} Code: Select all SetDecimal Define f(x)=3e^(-x)-0.5e^(-4x)+2.5 5⇒a 6⇒b While b-a>0.1    (a+b)/2⇒m    Print {a,b,m,b-a}    If f(m)>2.51    Then       m⇒a    Else       m⇒b    IfEnd WhileEnd Print {a,b} Pour obtenir des résultats en fraction, supprimer l'instruction 'SetDecimal'. Code: Select all EXPORT BTS2015FRB() BEGIN    F1:="3*e^(-X)-0.5*e^(-4X)+2.5";    A:=5;    B:=6;    WHILE B-A>0.1 DO       M:=(A+B)/2;       PRINT({A,B,M,B-A});       IF F1(M)>2.51 THEN A:=M       ELSE B:=M       END    END;    PRINT({A,B}); END;

D'où la réponse à la question :

	étape 1	étape 2	étape 3
a	5	5.5	5.5
b	6	6	5.75
m	5.5	5.75	5.625
b-a	1	0.5	0.25

C)2)b) L'algorithme s'articule autour d'une unique boucle 'tant que', de condition de poursuite b-a>0,1.
L'algorithme se termine donc sur la réalisation de la condition contraire: b-a≤0,1.
L'intervalle [a;b] affiché en fin d'algorithme a donc une amplitude b-a d'au plus 0,1.


Téléchargement : Sujet BTS 2015 - Maths Groupement B (France - mai 2015)