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Hier, nous vous avions corrigé la partie A de l'exercice n°3 du sujet de maths du BAC S tombé vendredi en Polynésie française, et portant sur l'algorithmique.

Mais ce n'est pas la seule question "intéressante" de cet exercice... Voyons la suite:



La question B) 5) c) demande ici de trouver un résultat à la calculatrice.

Réponse qui ne pourra donc pas être justifiée puisque l'usage d'imprimantes est interdit pendant l'épreuve.
Au mieux, vous ne pourrez que raconter ce que vous faites.

Habituellement, ce type de question tombe plutôt pour déterminer une valeur approchée ou un encadrement juste après une utilisation du théorème de la bijection dit "des valeurs intermédiaires", ou alors en série ES.

Nous sommes très étonnés de trouver une telle question cette année en série S, mais elle n'en est pas moins intéressante.



Nous allons surtout vous montrer que nous pouvons traiter cette question sans avoir rien fait/compris dans les questions précédentes, et que si vous savez gérer votre stress et garder les yeux en face des trous vous pouvez très facilement gagner des points sans effort car:

• beaucoup de questions donnent les résultats qu'elles vous demandent de démontrer (questions du type "montrez que...")
• il y a un enchaînement logique dans l'énoncé, et pour répondre à une question il suffit presque toujours d'utiliser la réponse de la question ou partie précédente (et donc si vous êtes bloqués au BAC, astuce très efficace: relisez la question ou partie précédente)

Récapitulons ici les choses

• On nous demande donc ici à la question B)5)c) de trouver un entier n₀ tel que pour tout n≥n₀, u_n≥10^p avec p=3, soit ici u_n≥1000. En langage naturel, on cherche donc le rang n₀ à partir duquel la suite u_n dépasse irrémédiablement 1000.
• D'après la question précédente B)5)b), on sait de plus que n₀≤3p, soit 0≤n₀≤9, ce qui réduit fort avantageusement l'espace de recherche.
• La question B)3) nous dit que la suite est croissante, et donc la plus petite valeur n₀ trouvée telle que u_n0≥1000 conviendra.
• Et la question B)5)a) a gentillesse de nous garantir que de tels n₀ existent!

Et bien allons-y: passons notre calculatrice TI-73 à TI-84 en mode suite avec la touche :


Accédons ensuite à l'éditeur de suites avec la touche pour entrer la suite récurrente définie par u₀=0 et u_n+1=3u_n-2n+3.
Notons que la calculatrice ne permet pas de définir u_n+1 mais uniquement u_n. Pour entrer une telle suite, il faut donc remplacer toutes les occurrences de la variable n par des (n-1), et rentrer u_n=3u_n-1-2(n-1)+3.


Notons qu'il y a ici beaucoup plus simple si l'on n'a pas oublié la question B)4)b) qui donne la formule générale u_n=3ⁿ+n-1, formule beaucoup plus facile à saisir sans erreur et de plus fiable puisque donnée par l'énoncé!


Une fois notre suite saisie, demandons simplement un tableau de valeurs avec :


Et voilà, on trouve en effet quasi immédiatement que la suite u_n dépasse irrémédiablement 1000 à partir de n₀=7.



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