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Dernière mise à jour : 27/06/2013
Bonne lecture !

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Les Exercices de Mathématiques de Laurae précédente (#2) : Complexes #1

Compilation des exercices et des corrigés : Compilation Laurae


Nous avançons cette fois vers un exercice sur les nombres complexes.
Les solutions sont toujours indiquées sur le premier post en pièce jointe.
Vous gagnez 5 étoiles pour une réponse meilleure que celle proposée.

Note : l'indication est destinée aux lycéens en classe de première.




Meilleures solutions :
- Marka : viewtopic.php?f=67&t=12570#p144999
- Hayleia : viewtopic.php?f=67&t=12570#p145000
- nikitouzz : viewtopic.php?f=67&t=12570#p145004
- Bisam : viewtopic.php?f=67&t=12570&p=145171#p145171

Salup,
Première égalité (je rassemble les membres)
An = 1 +2+3+...+(n-1) + n
An = n + (n-1) + (n-2) +...2+1
On rassemble les membres de la ligne du dessus et de la ligne du dessous et on obtient 2An
Donc 2An = n+1 +n+1 ....+ +n+1+ n+1 et ceci n fois
Soit 2An = n(n+1)
D'Ou An = n(n+1)/2

Bon on pouvait faire par récurrence
(Comme je dois y aller je ferais le reste en EDIT )

Vive les récurrences (il y a sûrement mieux, mais comme le disait ma prof de maths de 2e et de 1e, "on ne change pas une méthode qui gagne").

(notez que dans mes hérédités, je suppose la propriété vraie à n-1 et je la montre vraie à n, et je ne la suppose pas vraie à n pour la montrer vraie à n+1)

Récurrence:
Initialisation: 1=1*(1+1)/2
Heredité: 1+...+n=(1+...+(n-1))+n=(n-1)n/2+n=((n-1)n+2n)/2=(n(n+1))/2

Récurrence:
Initialisation: 1²=1(1+1)(2*1+1)/6
Heredité: 1²+...+n²=(1²+...+(n-1)²)+n²=((n-1)n(2(n-1)+1))/6+n²=n(n+1)(2n+1)/6

Récurrence:
Initialisation: 1^3=1²(1+1)²/4
Heredité: 1^3+...+n^3=(1^3+...+(n-1)^3)+n^3=(n-1)²n²/4+n^3=n²(n+1)²/4

Récurrence directe pour les 2 premières démonstrations.

Pour les cubes, la preuve par récurrence aussi devrait marcher sans trop de soucis, et au final : (n(n+1)/2)²

I)recurrence :

Inititialisations, pour n=1 on a An=1 puis 1*(1+1)/2=1=An

Heredité, 1+2+3+...+n+(n+1) = (1+2+3+...+n)+(n+1) = n(n+1)/2+2(n+1)/2 = (n+1)(n+2)/2 = (n+1)((n+1)+1)/2

II) recurrence :

Inititialisations, pour n=1 on a Bn=1 puis 1*(1+1)*(2+1)/6=1=Bn

Heredité, 1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2 = (1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(n+1)^2 = (n*(n+1)*(2n+1))/6 + (n+1)^
(n*(n+1)*(2n+1))/6+(n+1)^2 = (n*(n+1)*(2n+1))/6+6(n+1)^2/6 = (n*(n+1)*(2n+1)+6(n+1)^2)/6 = ((n+1)*(n+2)*(2(n+1)+1))/6

III) 1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2=((n+1)((n+1)+1)/2)^2

Pour la dernière démonstration, regardez suffisamment longtemps cette image... et comprenez...