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Supposons y>0
Soit j dans {1,...,n-1}
On a:
-limite quand x tend vers a(j) de f(x)=+l'infini
-limite quand x tend vers a(j+1) de f(x)=-l'infini
-f est continue sur ]a(j),a(j+1)[
Donc d'après le TVI étendu, il existe cj dans ]a(j),a(j+1)[ tel que f(cj)=y
Ça nous fait n-1 solutions (les cj sont deux à deux différents car se trouvent dans des intervalles disjoints).
Mais il y en a encore une sur ]a(n),+l'infini[ avec un raisonnement du même type.

Supposons y<0
Recopier la démo précédente, mais cette fois avec la dernière solution sur ]-l'infini,a(1)[

Supposons y=0
Toujours la même démo pour les n-1 solutions.
Sauf que là, il n'y en a pas d'autre. En effet, par dérivation, la dérivée de f est toujours strictement négative donc f est décroissante. De plus, limite en a(n)=+l'infini et limite en +l'infini=0 donc pour tout x dans ]a(n),+l'infini[, f(x)>0 (donc non égal à zero), et pareil sur ]-l'infini,a(1)[.