[Exercices Maths Laurae #11] Complexes #2

[Laurae]

Dernière mise à jour : 26/07/2013
Bonne lecture !

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Compilation des exercices et des corrigés : Compilation Laurae


Nous avançons cette fois vers les complexes.
Les solutions sont toujours indiquées sur le premier post en pièce jointe.
Vous gagnez 5 étoiles pour une réponse meilleure que celle proposée.

Exercice 11.png

Bien sûr, vous pouvez y aller de façon brute sans passer par le nombre complexe C si vous le voulez (usage des formules trigonométriques, en fait dans ce cas vous ferez le chemin inverse sans même se soucier du nombre complexe C).

[Hayleia]

Enfin ! Le retour des récréations mathématiques (ou "comment ne pas s'ennuyer pendant ses vacances").

Voilà ma réponse, sans utiliser C (ou alors je l'ai utilisé sans le savoir).

cos(5π/12) =Re(e^i5π/12) =Re(e^{i(6π/12-π/12)}) =Re(e^iπ/2e^-iπ/12) =Re(ie^-iπ/12) =sin(π/12)
De même, sin(5π/12)=cos(π/12)

D'après les "formules de l'angle moitié" (on se ramène à π/6 dont on connaît le cosinus et le sinus),
cos(π/6)=cos²(π/12)-sin²(π/12) et sin(π/6)=2cos(π/12)sin(π/12)

Pour déterminer sin(π/12), on multiplie la première égalité par sin²(π/12), et en utilisant la seconde égalité pour simplifier celle obtenue, on obtient que sin²(π/12) est racine de X²+cos(π/6)X-sin²(π/6)/4.
D'où sin²(π/12)=(2-√(3))/4 (l'autre racine du polynôme étant négative)
D'où sin(π/12)=√(2-√(3))/2 (puisque π/12 est dans ]0,π[)

Pour déterminer cos(π/12), on multiplie la première égalité par cos²(π/12), et en utilisant la seconde égalité pour simplifier celle obtenue, on obtient que cos²(π/12) est racine de X²-cos(π/6)X-sin²(π/6)/4.
D'où cos²(π/12)=(2+√(3))/4 (l'autre racine du polynôme étant négative)
D'où cos(π/12)=√(2+√(3))/2 (puisque π/12 est dans ]-π/2,π/2[)

(mes résultats sont dans une écriture plus laide que la tienne, mais apparemment ils sont les mêmes)

[Laurae]

Enfin ! Le retour des récréations mathématiques (ou "comment ne pas s'ennuyer pendant ses vacances").

Voilà ma réponse, sans utiliser C (ou alors je l'ai utilisé sans le savoir).

cos(5π/12) =Re(e^i5π/12) =Re(e^{i(6π/12-π/12)}) =Re(e^iπ/2e^-iπ/12) =Re(ie^-iπ/12) =sin(π/12)
De même, sin(5π/12)=cos(π/12)

D'après les "formules de l'angle moitié" (on se ramène à π/6 dont on connaît le cosinus et le sinus),
cos(π/6)=cos²(π/12)-sin²(π/12) et sin(π/6)=2cos(π/12)sin(π/12)

Pour déterminer sin(π/12), on multiplie la première égalité par sin²(π/12), et en utilisant la seconde égalité pour simplifier celle obtenue, on obtient que sin²(π/12) est racine de X²+cos(π/6)X-sin²(π/6)/4.
D'où sin²(π/12)=(2-√(3))/4 (l'autre racine du polynôme étant négative)
D'où sin(π/12)=√(2-√(3))/2 (puisque π/12 est dans ]0,π[)

Pour déterminer cos(π/12), on multiplie la première égalité par cos²(π/12), et en utilisant la seconde égalité pour simplifier celle obtenue, on obtient que cos²(π/12) est racine de X²-cos(π/6)X-sin²(π/6)/4.
D'où cos²(π/12)=(2+√(3))/4 (l'autre racine du polynôme étant négative)
D'où cos(π/12)=√(2+√(3))/2 (puisque π/12 est dans ]-π/2,π/2[)

(mes résultats sont dans une écriture plus laide que la tienne, mais apparemment ils sont les mêmes)

J'ai (exactement) la même chose sans passer par C
Sauf qu'on se retrouve aussi devant la racine carrée avec une racine carrée dedans

[Hayleia]

J'ai (exactement) la même chose sans passer par C
Sauf qu'on se retrouve aussi devant la racine carrée avec une racine carrée dedans

Oui, c'est vrai que c'est un peu moche. Mais puisque l'énoncé demande une valeur exacte et ne précise pas vouloir éviter les racineceptions, ça passe. De plus, la méthode du corrigé ne marche que si on a l'indication de C, mais si la question était "trouver les valeurs exactes" sans indication, il est impossible de penser à ce C.

[Bisam]

Sans utiliser la valeur C, on peut tout de même remarquer que 5/12=1/6+1/4 donc e^(5i*pi/12)=e^(i*pi/6)*e^(i*pi/4) et en utilisant les valeurs de trigo connues on trouve facilement les valeurs demandées.
On peut même éviter les nombres complexes et utiliser seulement les formules d'addition du sinus et du cosinus.

[Laurae]

Sans utiliser la valeur C, on peut tout de même remarquer que 5/12=1/6+1/4 donc e^(5i*pi/12)=e^(i*pi/6)*e^(i*pi/4) et en utilisant les valeurs de trigo connues on trouve facilement les valeurs demandées.
On peut même éviter les nombres complexes et utiliser seulement les formules d'addition du sinus et du cosinus.

Bisam il a toujours des super raccourcis pour arriver au résultat