[Exercices Maths Laurae #12] Complexes #3

[Laurae]

Dernière mise à jour : 29/07/2013
Bonne lecture !

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Compilation des exercices et des corrigés : Compilation Laurae


Nous avançons cette fois vers les complexes de nouveau.
Les solutions sont toujours indiquées sur le premier post en pièce jointe.
Vous gagnez 5 étoiles pour une réponse meilleure que celle proposée.

Exercice 12.png

Plusieurs méthodes sont probablement possibles.

[Adriweb]

Ha !
L'exo que tout ma promo a fail 2x de suite en sup

(Il ne faut plus prononcer "cos k théta" à l'ISEN )

[Laurae]

Ha !
L'exo que tout ma promo a fail 2x de suite en sup

(Il ne faut plus prononcer "cos k théta" à l'ISEN )

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Massive formules d'Euler

Pour P c'est beaucoup moins compliqué.
Mais en effet, S est un enfer si on trouve pas l'astuce directement. J'ai pas voulu mettre de csc car y aurait 3 facteurs trigo différents en même temps dans la solution (2 c'est déjà assez)

[Adriweb]

Bref :

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(Je renomme en Cn le cos et soit Sn la somme des sin(k*theta))

[Laurae]

Bref :

(Je renomme en Cn et Sn)

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J'ai des réels x qui trainent partout

[Laurae]

Correction d'erreurs dans mon corrigé (29/07/2013).

[Bisam]

Voici une autre méthode pour calculer S sans utiliser les complexes.

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Soit x un réel.
Si x est congru à 0 modulo 2pi, S vaut n+1. Sinon, on remarque que 2*cos(kx)*sin(x/2)=sin((k+1)x-x/2)-sin(kx-x/2) donc 2*S*sin(x/2) se simplifie à l'aide d'une somme télescopique en sin((n+1)x-x/2)-sin(-x/2) ce qui par une formule de trigo est aussi égal à 2*sin((n+1)x/2)cos(nx/2). Puisque x n'est pas congru à 0 modulo 2pi, on peut diviser par sin(x/2) qui est non nul et on retrouve bien la valeur S=sin((n+1)x/2)cos(nx/2)/sin(x/2).

Remarque supplémentaire :

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On peut aller un peu plus loin en remarquant que la fonction (de x) écrite sous la forme d'une somme est trivialement dérivable autant de fois qu'on le veut, et donc il doit en être autant de la forme "simplifiée" que l'on a trouvé... Il suffit de quelques DL pour vérifier qu'elle est bien continue et dérivable, mais si on ne veut pas repasser par la formule sommatoire, il faut utiliser les séries entières ou mieux encore les polynômes de Tchebychev pour montrer qu'elle est infiniment dérivable...

[noelnadal]

Ha !
L'exo que tout ma promo a fail 2x de suite en sup

(Il ne faut plus prononcer "cos k théta" à l'ISEN )

Désolé pour ce déterrage... premier DM en sup', j'ai eu cette question (enfin, la somme des cos kx et des sin kx)

[Adriweb]

Ha !
L'exo que tout ma promo a fail 2x de suite en sup

(Il ne faut plus prononcer "cos k théta" à l'ISEN )

Désolé pour ce déterrage... premier DM en sup', j'ai eu cette question (enfin, la somme des cos kx et des sin kx)

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