by Lionel Debroux » 23 Aug 2013, 19:59
Quelques réflexions rapides:
1) n = 1 fait partie de l'ensemble des entiers naturels tels que n^4 + 4 = 5 est premier;
2) pour n > 1, pour que n^4 + 4 soit premier, ce nombre doit être ≡ 1, 3, 7 ou 9 modulo 10. Ceci exclut les n tels que n^4 est pair, c'est à dire tous les n pairs;
2a) si n^4 ≡ 1 mod 10 (c'est notamment le cas pour n = 3), alors n^4 + 4 ≡ 5 modulo 10 et n'est pas premier (sauf pour n=1, déjà mentionné).
2b) n^4 + 4 ≡ 1, 3, 7 ou 9 modulo 10 est équivalent à n^4 ≡ 7, 9, 3 ou 5 modulo 10, mais ça ne nous aide pas forcément [EDIT: hmm, si... le dernier digit du carré d'un entier naturel impair ne peut pas avoir toute valeur, et le dernier digit de la puissance 4 d'un entier naturel impair ne peut pas avoir toute valeur non plus];
2c) [EDIT2: à moins que j'écrive une bêtise:
si n ≡ 1 mod 10, n^2 ≡ 1 mod 10 et n^4 ≡ 1 mod 10
si n ≡ 3 mod 10, n^2 ≡ 9 mod 10, et n^4 ≡ 1 mod 10
si n ≡ 7 mod 10, n^2 ≡ 9 mod 10, et n^4 ≡ 1 mod 10
si n ≡ 9 mod 10, n^2 ≡ 1 mod 10, et n^4 ≡ 1 mod 10
Dans tous les cas, n^4 ≡ 1 mod 10, et on a vu en 2a) que le seul n tel que n^4 ≡ 1 mod 10 soit premier est n = 1]
D'autres réflexions plus tard, peut-être ^^
[EDIT3: remplacement de === par ≡]
