j ai le meme probleme mais je ne comprend rien
voici mon programme :
[ Uploading image... ] AU 1 ER JANVIER 2018 UNE ASSOCIATION COMPTE 3 000 ADHERENTS. ON CONSTATE QUE CHAQUE MOIS :
2 POURCENT DES ADHERENTS DE L ASSOCIATION NE RENOUVELLENT PAS LEUR ADHESION ;
50 NOUVELLES PERSONNES ADHERENT A L ASSOCIATION.
PARTIE A
→ DETERMINER UNE ESTIMATION DU NOMBRE D ADHERENTS AU 1ER MARS 2018.
AU 1 ER FEVRIER 2018 LE NOMBRE D ADHERENTS DE L ASSOCIATION EST :
3000×(1−2/100)+50=3000×0,98+50=2990
AU 1 ER MARS 2018 LE NOMBRE D ADHERENTS DE L ASSOCIATION EST :
2990×0,98+50=2980,2
AU 1 ER MARS 2018 IL DEVRAIT Y AVOIR ENVIRON 2 980 ADHERENTS.
ON MODELISE LE NOMBRE D ADHERENTS DE L ASSOCIATION PAR LA SUITE (UN)
TELLE QUE U0=3 000
ET, POUR TOUT ENTIER NATUREL N, UN+1=0,98UN+50.
LE TERME UN DONNE AINSI UNE ESTIMATION DU NOMBRE D ADHERENTS DE L ASSOCIATION AU BOUT DE N MOIS.
ON CONSIDERE LA SUITE (VN)DEFINIE POUR TOUT ENTIER NATUREL N PAR :
VN=UN−2 500.
→ DEMONTRER QUE (VN)EST UNE SUITE GEOMETRIQUE DONT ON PRECISERA LE PREMIER TERME ET LA RAISON.
POUR TOUT ENTIER N,
VN+1=UN+1−2 500=0,98UN+50−2 500=0,98UN−2 450=0,98×(UN−2 500)=0,98VN
AINSI, POUR TOUT ENTIER NATUREL N, VN+1=0,98VN DONC (VN)
EST UNE SUITE GEOMETRIQUE DE RAISON 0,98 DONT LE PREMIER TERME
V0=3 000−2 500=500.
→ EN DEDUIRE QUE, POUR TOUT ENTIER NATUREL N, UN=500×0,98^N+2 500.
(VN) EST UNE SUITE GEOMETRIQUE DE RAISON 0,98 ET DE PREMIER TERME V0=500
DONC POUR TOUT ENTIER NATUREL N, ON A :
VN=500×0,98^N
COMME POUR TOUT ENTIER NATUREL N,
VN=UN−2 500⇔UN=VN+2 500
ON EN DEDUIT QUE :
POUR TOUT ENTIER NATUREL N,
UN=500×0,98^N+2 500.
→ ETUDIER LE SENS DE VARIATION DE LA SUITE (UN).
POUR TOUT ENTIER N,
UN+1−UN=(500×0,98^N+1+2 500)−(500×0,98^N+2 500)
=500×0,98^N+1−500×0,98^N
=500×0,98^N×(0,98−1)
=−10×0,98^N
OR POUR TOUT ENTIER N, −10×0,98N<0
DONC :
POUR TOUT ENTIER N,
UN+1−UN<0. LA SUITE (UN) EST STRICTEMENT DECROISSANTE.
→ DETERMINER LA LIMITE DE LA SUITE (UN). INTERPRETER CE RESULTAT DANS LE CONTEXTE DE L EXERCICE.
0<0,98<1
DONC LIM0,98^N=0
D OU ,LIMN500×0,98N+2 500=2 500. SOIT LIMN UN=2 500.
LA SUITE (UN)
CONVERGE VERS 2 500. A PARTIR D UN CERTAIN NOMBRE DE MOIS, LE NOMBRE DE MEMBRES INSCRITS SERA CHAQUE MOIS PROCHE DE 2 500.
PARTIE B
LA RESPONSABLE DE L ASSOCIATION, SOUHAITE DETERMINER AU BOUT DE COMBIEN DE MOIS LE NOMBRE DE MEMBRES INSCRITS SERA INFERIEUR A 2 900.
→ RECOPIER ET COMPLETER L ALGORITHME SUIVANT AFIN QU IL PERMETTE DE REPONDRE AU PROBLEME POSE.
U←3000
N←0
TANT QUE
U⩾2 900
U←0,98×U+50
N←N+1
FIN TANT QUE
→ EN RESOLVANT LINEQUATION : 500×0,98N+2 500<2 900, DETERMINER LA VALEUR DE LA VARIABLE N OBTENUE A LA FIN DE L EXECUTION DE L ALGORITHME PRECEDENT.
POUR TOUT ENTIER NATUREL N,
500×0,98N+2 500<2 900⇔500×0,98N<400
⇔0,98N<0,8
⇔LN(0,98N)<LN0,8(LA FONCTION LN EST STRIC CROISSANTE)
⇔N×LN0,98<LN0,8 (POUR TOUT REEL A STRIC POSITIF ET POUR TOUT ENTIER N, LNAN=NLNA)
⇔N>(LN0,8/LN0,98)
OR (LN0,8/LN0,98)=11,05
DONC LE PLUS PETIT ENTIER N SOLUTION DE L INEQUATION 500×0,98N+2 500<2 900
EST=12.
LA VALEUR DE LA VARIABLE N OBTENUE A LA FIN DE L EXECUTION DE L ALGORITHME EST
N=12.
PARTIE C
→ LE MONTANT DE LA COTISATION MENSUELLE A L ASSOCIATION EST DE 10 EUROS. CALCULER LA SOMME TOTALE QUE L ASSOCIATION ESPERE OBTENIR POUR L ANNEE 2018.
EN REMARQUANT QUE UN=VN+2 500
ON CALCULE LE NOMBRE D ADHERENTS DE L ASSOCIATION EN UTILISANT LA SOMME DE TERMES DE LA SUITE GEOMETRIQUE
(VN).
UNE ESTIMATION DU NOMBRE D ADHERENTS DE L ASSOCIATION DU 1 ER JANVIER 2018 AU 1 ER DECEMBRE 2018 EST :
U0+U1+…+U11=V0+2 500+V1+2 500+…+V11+2 500=(V0+V1+…+V11
= (V0+V1+...V11)+12×2 500
=500×(1−0,98^12/1-0,98)+12×2 500≈35 382
SOIT UNE SOMME TOTALE PERCUE DE
S=10×35 382=353 820
Posted: 22 Jan 2017, 16:29