QCC 2018 épisode 9 : Polynômes

[critor]

Quelle Clignotrice Choisir 2018 - Episode 9
Polynômes

Nous nous intéressons aujourd'hui à la recherche de racines de polynômes.

Sommaire :

1. Généralités et degré 2
2. Degré 3
3. Scores

1) Généralités et degré 2 :Go to top

Sur Casio Graph 35+E, Casio Graph 75+E et Graph 90+E, tout se passe dans l'application intégrée EQUA.
L'affichage natural n'est disponible que pour les solutions, et l'affichage exact n'est pleinement disponible que pour les solutions.
Pour le reste, seules les fractions seront affichées correctement.
On regrettera que l'application soit limitée au degré 6. Normalement pas de conséquence au lycée, mais au delà c'est autre chose...
On regrettera aussi que les menus de bas d'écran ne soient pas en français.

Sur Casio Graph 25+E, il faut renoncer à tout affichage naturel, ainsi qu'à tout affichage exact en dehors des fractions.

Sur Casio fx-CP400+E pas d'interface, tout se passant avec la fonction solve().
Elle bénéficie des moteurs d'affichage naturel et de calcul exact.

Elle gère en prime les coefficients complexes, et permet même de retrouver les formules du cours grâce à l'utilisateur du moteur de calcul formel !

Elle permet également d'obtenir la forme canonique grâce à la fonction completeSqr(), et là encore sa formule générale grâce au moteur formel !

La HP Prime reprend potentiellement tous les avantages du haut de gamme.

En pratique, elle semble toutefois avoir du mal à conserver des résultats exacts dans le contexte de polynômes, produisant après des avertissements en anglais des résultats approchés ou même surprenants sur les mêmes exemples qui sont pourtant parfaitement passés sur les autres modèles...

La Lexibook GC3000FR révèle une fois de plus d'une totale incompétence. Est-ce à l'image de ses concepteurs ?...

La NumWorks dans son application Equations permet la saisie en écriture naturelle et donne des racines exactes, avec en prime les formule et valeur du discriminant.

Les TI-83 Premium CE et TI-84 Plus CE-T permettent de résoudre des équations polynomiales jusqu'au degré 10 à l'aide de l'application préchargée PlySmlt2.
Notons la saisie agréable en écriture naturelle, ainsi que les résultats pouvant être donnés sous forme exacte sur TI-83 Premium CE.

On regrettera toutefois l'obtention parfois de formes exactes incomplètes.

Sur la TI-84 Plus CE-T, les formes exactes affichées seront restreintes aux seules fractions.

L'application PlySmlt2 est également intégrée sur TI-82 Advanced et TI-84 Plus T, et disponible en mode examen.
Mais il faudra ici renoncer à tout affichage exact lors de la saisie, ainsi qu'à tout affichage naturel, et même au français.

Sur TI-Nspire CAS TouchPad et TI-Nspire CX CAS on retrouve exactement les mêmes avantages avec les fonctions solve() ou cSolve() !

Sur les TI-Nspire, TI-Nspire TouchPad et TI-Nspire CX, il faudra déjà oublier tout ce qui fait appel au moteur de calcul formel.
Donc pas de moyen de faire recracher les formules du cours à la machine, et pas de mise en forme canonique.
Pour le reste, il faut ici utiliser une fonction spécifique, polyRoots() ou cPolyRoots().
D'autre part, les résultats exacts seront limités aux seules fractions, et encore ça ne marchera pas tout le temps comme visible ci-contre...

2) Degré 3 :Go to top

Comme en degré 2 le moteur exact/symbolique/formel lorsque présent marche presque toujours, testons ici sa robustesse en degré 3. Prenons pour cela les polynômes suivants :

1. $mathjax$x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24}$mathjax$
2. $mathjax$x^3-\left(\sqrt 2+7\right)x^2+\left(7\sqrt 2+12\right)x-12\sqrt 2$mathjax$
3. $mathjax$x^3-\left(\sqrt 2+\sqrt 3+4\right)x^2+\left(4\sqrt 2+4\sqrt 3+\sqrt 6\right)x-4\sqrt 6$mathjax$
4. $mathjax$x^3+x-1=0$mathjax$

Les Casio Graph 35+E, Casio Graph 75+E et Graph 90+E fournissent des racines exactes uniquement dans les 2 premiers cas.

La Casio Graph 25+E pour sa part se limite au premier cas.

La Casio fx-CP400+E arrive quant à elle à s'en tirer dans tous les cas !

La HP Prime ne s'en sort que dans les 3 premiers cas.

La NumWorks quant à elle ne s'en sort dans aucun cas.

De façon très décevante, les TI-83 Premium CE, TI-84 Plus CE-T, TI-82 Advanced et TI-84 Plus T ne donnent de formes exactes que pour le premier cas.

De façon également très décevante, les TI-Nspire CX CAS et TI-Nspire CAS TouchPad ne gèrent correctement que les 2 premiers cas.

Les TI-Nspire CX, TI-Nspire TouchPad et TI-Nspire ne s'en sortent quant à elles que dans le premier cas.

3) Scores :Go to top

[compsystems]

Hello, please update the captures of the hp-prime calculator, using in solve a third argument '=', with the purpose of seeing the answer as equations ie using the variables=...

Code: Select all

solve( 1/2*x^2+2*√10/5*x+1/5=0,x ,'=' )

Code: Select all

{ x=(-2*√10-√30)/5),  x=(-2*√10+√30)/5)}

also use (shift-settings) small font size to display on the same screen widest expression.

try the simplify flag change, to visualize different forms of output, although it seems that the ti89 / nspire, shows more simple expressions to read, that would also be very important to analyze

try
canonical_form(x^2-6*x+y^2+10*y+18) on casio and ti calcs
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ca ... 10*y%3D-18
canonical form x^2-6*x+y^2+10*y=-18 =>
(x - 3)^2 + (y + 5)^2 - 16 = 0


Source:
free book "Doing Mathematics withScientic WorkPlace"
https://www.sciword.co.uk/manuals/

[critor]

Thank you very much for the hints !

[parisse]

Apparamment, je n'ai toujours pas reussi a convaincre que ca ne sert a rien de resoudre exactement des equations du troisieme degre avec les formules de Cardan... La Casio est-elle capable de simplifier x1*x2+x1*x3+x2*x3 avec ces belles formules?

[compsystems]

I do not know about Cardano's_method, but someone must be useful and available in Xcas

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_fun ... o's_method

[parisse]

FYI, there is a Cardan user program in Xcas examples, it can easily be ported to a CAS program on the Prime. But it's not builtin because the results are (almost) unusable for further computations as explained in my previous post. More precisely, with the classpad, open the settings and set complex format, then l:=getRight(solve(x^3+x-1=0)) then try to simplify l[1]*l[2]+l[1]*l[3]+l[2]*l[3].

[parisse]

Je suis inquiet par l'image deformee que risque de donner ce classement pour la poursuite d'etudes scientifiques. Si on regarde le classement sans se renseigner plus, on voit en tete classpad 15, ensuite les nspire cas avec 14, puis la hp prime avec 12.75 presqu'a mi-chemin des modeles de milieu de gamme. Or seule la Prime propose des fonctions un peu plus avancees que les fonctions lycee decrites ici sur les polynomes:
* quotient, reste de la division euclidienne de 2 polynomes (il faut utiliser des astuces pour s'en sortir sur les nspire CAS et classpad) [edit suite a post de Bisam: ces fonctions existent sur nspire CAS]
* il n'y a pas de pgcd de 2 polynomes (par ex. gcd(x^3-1,x^2-1)) [edit: existe sur nspire CAS mais pas avec gcd] ou factorisation en produit d'irreductibles sur les nspire CAS (par exemple factor(x^8+x^7+x^5+3*x^4+x^3+x+1))
* polynome d'interpolation [edit: existe avec bibliotheque sur nspire]
* identite de Bezout pour les polynomes, restes chinois (pas non plus presents pour les entiers sur ces 2 modeles)
* polynomes a coefficients dans Z/nZ, resultant, polynome caracteristique, polynome minimal, ...
Alors bien sur on va me dire que c'est un classement lycee, mais c'est comme pour l'utilisation de KhiCAS sur Casio Graph 90+e, il ne faut pas oublier qu'une partie des lyceens va acheter sans se douter que les modeles les mieux classes dans le QCC sur des aspects mathematiques ne sont pas les meilleurs pour la poursuite d'etudes scientifiques, au contraire! Et en tant qu'enseignant de math qui aime sa matiere, ca me rend un peu triste.

[Adriweb]

Il me semble bien qu’un QCC focusé sur les études supérieures aurait largement la Prime en tête, mais du coup il n’y aurait plus les contraintes du mode examen à prendre en compte (je pense?), donc l’immense bibliothèque de programme dispo sur TI particulièrement, serait aussi à ne pas oublier (et comme la dit critor, ce serait très compliqué de correctement juger). En built in, effectivement xcas a bien davantage de fonctions pour autant que je sache.

Mais bref pour le QCC actuel, c’est loin d’être fini pour la Prime... il faut encore attendre des épisodes futurs intéressants pour avoir le classement final prenant en compte des points importants honnêtement on est à peine fin août, personne ou presque va acheter sa calto maintenant (ou alors seuls les personnes très intéressés, et auquel cas elles vont bien de renseigner, et voir que le qcc ici n’est pas terminé)

[clifward]

Pour ma part, une bonne partie des gens de ma classe de l'an dernier (MPSI) ont changé de calculatrice au cours de l'année, passant des vieilles vers de la CX CAS (personne n'a acheté la HP Prime... Car personne pour expliquer rapidement son fonctionnement et en faire la promo ). Si les élèves n'anticipent pas sur leur poursuite d'études, ils ne peuvent s'en prendre qu'à eux même...
Mais bon, dans le supérieur, la calculatrice est le plus souvent interdite, et pour une utilisation dans un cadre plus détendu qu'un DS/examen, on a Wolfram... Qui est nettement moins cher (et plus efficace pour pas mal de choses).

[parisse]

Adriweb: Oui bien sur qu'il y a encore des QCC, mais celui sur les polynomes s'ajoute a celui sur les systemes lineaires ou j'ai deja du expliquer que le classement de la Prime a mi-chemin entre le meilleur et le milieu de gamme n'a aucune justification mathematique. J'ai bien peur que cela ne continue sur les autres episodes vu que rien n'a change sur ces deux-la a ce jour.

Clifward: il est quand meme difficile pour un eleve en debut de seconde de pouvoir comparer par lui-meme les capacites des calculatrices pour l'ensemble de ses etudes puisqu'il ne les a pas encore entamees. Le mieux qu'on puisse lui demander c'est de se renseigner aupres de gens competents, ou ici par exemple. C'est bien pour ca que j'aimerais que les QCC donnent une image plus fidele des capacites mathematiques d'une calculatrice. D'une certaine maniere, votre remarque "Pour ma part, une bonne partie des gens de ma classe de l'an dernier (MPSI) ont changé de calculatrice au cours de l'année" illustre parfaitement cela: il vaudrait bien mieux qu'ils aient achete des le lycee une calculatrice CAS. Financierement parlant bien sur, mais aussi pour economiser sur le temps d'apprentissage pendant la MPSI. Il est dommage que HP n'ait pas fait la promotion de la Prime vers les CPGE, je leur ai pourtant dit a de nombreuses reprises que c'etait le marche naturel vers lequel se tourner en France, mais on ne m'ecoute pas plus chez HP qu'ailleurs.
Pour la rentree prochaine je pense que la Casio Graph 90+e avec KhiCAS est le meilleur rapport qualite/prix pour un eleve de prepa (CAS+programmation compatible Python avec l'equivalent des modules numpy/scipy et partiellement de matplotlib). Si vous avez un peu de temps pour tester, je suis preneur de retours.