IUT CACHAN - GMP 2 Cours de Mécanique M. Barreau 2009

*Matrice d’inertie d’un solide en O
ELEMENTS d’INERTIE Iox  J ( yOz , xOz )  J ( yOz , xOy )
d’un SOLIDE I (O; S )   J ( yOz , xOz ) Ioy  J ( xOz , xOy )
On montre en dynamique que le comportement d’un solide fait intervenir 3  J ( yOz , xOy )  J ( xOz , xOy ) Ioz (O, x, y , z )
grandeurs de géométrie des masses.
 Une grandeur scalaire : la masse. (un nombre)
 Une grandeur vectorielle : la position du CG (trois nombres). Attention : La matrice d’inertie est toujours
 Une grandeur tensorielle : la matrice d’inertie en un point (six calculée dans une base liée au solide !
nombres).
Centre d’inertie – Centre de masse – Centre de Notation simplifiée de la matrice d’inertie en O d’un solide S
gravité : 
Le centre d’inertie (noté G) d’un solide ou d’un ensemble de  GP.dm  0 A F E
solides E est le barycentre des masses. E
I (O ; S )   F B D
1
M E
Pour connaître la coordonnée de G : OG  . OP.dm E  D C (O, x, y , z )
Ou, en projection :
Notation développée de la matrice d’inertie
1 1 1
xg   x.dm y g   y.dm z g   z.dm
mE mE mE
(y  z 2 ).dm   xy.dm   xz.dm
2


 étant la masse spécifique du système E au point P, dm  .dV
S S S

I (O ; S )    xy.dm  (x
2
 z ).dm
2
  yz.dm
S S S
*Détermination de la position du centre d’inertie
 Choix pertinent des axes (si le solide admet un axe, ou un plan de   xz.dm   yz.dm  (x
2
 y 2 ).dm
symétrie alors G appartient à cet axe ou à ce plan. S S S (O, x, y , z )
 Choix du paramétrage (cartésien, polaire, cylindrique, sphérique)
 Domaines d’intégration. Bien choisir les bornes. SIMPLIFICATIONS
 Pour un ensemble de solides dont on connaît les masses et les CG : si le solide admet des plans de symétrie :
M1 M si xOy plan de symétrie, alors z varie de  z0 donc :
OG  .OG1  2 .OG 2  ...
M M E   xz.dm  0 D   yz.dm  0
S S
*Théorème de Guldin si yOz plan de symétrie, alors x varie de  x0 donc :
La surface de révolution engendrée par une ligne plane de longueur L tournant
autour d’un axe () situé dans son plan sans le traverser est égale au produit de
E   xz.dm  0 F   xy.dm  0
la longueur de la circonférence décrite par le CG de la ligne par la longueur de la S S

ligne elle même. si xOz plan de symétrie, alors y varie de  y0 donc :
F   xy.dm  0 D   yz.dm  0
S S
D’autre part si le solide admet xoy comme plan de
symétrie alors l’axe Oz est un axe principal d’inertie. Si
Ox joue le même rôle que Oy alors A=B

*Théorème de Huygens

a x X  xa Relation entre les moments
d’inertie d’un solide / 2 axes
GO b GP y OP Y  y  b parallèles
c ( G , xyz ) z ( G , xyz ) Z  z  c ( O , XYZ )
L’un des axes passe par G.

Eléments d’inertie d’un solide I ( S / Ox)  I ( S / Gx)  m.(b 2  c 2 )
*Définition dans le cas d’une masse ponctuelle (p):  I ( S / Gx)  m.d 2
Moment d’inertie de p/Axe : I ( p)  m.d 2 Les 2 axes sont quelconques

Produit d’inertie de p/(2 plans 1, 2) :
I (S / ' )  I (S / )  m.(d ' 2 d 2 )
Avec d1 = distance de P à 1 et d2 = distance de
P à  Théorème de Huygens généralisé à la matrice d’inertie

m.(b 2  c 2 )  m.a.b  m.a.c
*Définition dans le cas d’un solide (S):
I (O; S ) ( O , XYZ )  I (G; S ) ( G , xyz )   m.a.b m.(a  c )
2 2
 m.b.c
Moment d’inertie de S/ Axe :
 m.a.c  m.b.c m.(a 2  b 2 ) ( G , xyz )

I ( S / )  d
2
.dm a
PS
avec GO b
Produit d’inertie de S/(2 plans 1, 2) : c ( G , xyz )

J (S /  ,  ) 
1 2
PS
 d .d .dm
1 2
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CINETIQUE
2
m.R
Torseur cinétique d’un solide S/R0 : 2
2
0
2
0

Torseur des quantités de mouvement. I (G, cylindre )  0 m.R  m.L 0
4 12
2 2

On considère un solide en mouvement/Ro. Le torseur cinétique de S/R0 est 0 0 m.R  m.L
4 12
le torseur des quantités de mouvements. (G, x, y, z )

T ( S / R0 )  
 Rc ( S / R0 )  m.V (G; S / R0 ) 

   
cinetique  O   (O; S / R0 )  I (O; S )  ( S / R0 )  m.OG  V (O; S / R0 )
o
m..b  c 
2 2

*Résultante cinétique d’un solide S en mouvement /R0. 12
0 0
La résultante cinétique d’un ensemble matériel E en mouvement par
I (G, prisme)  0
m..a  c 
2 2

0
rapport à un repère est égale à la quantité de mouvement du centre 12
de gravité de l’ensemble matériel affecté de la masse totale de
0 0
m..a  b  2 2

l’ensemble. 12
(G, x, y, z )
Rc (S / R0 )  m.V (G; S / R0 )

*Moment cinétique d’un solide S en un point O de ce solide. 2
M .R 2 0 0
5
2
 (O; S / R0 )  I (O; S )  (S / R0 )  m.OG  V (O; S / R0 ) I (G, sphère)  0
5
M .R 2 0
2
0 0 M .R 2
Avec : I (O; S ) et ( S / R0 ) calculées dans la base du 5 (G, x, y, z )
solide.
Cas particuliers
*Si Os=G :

 (G; S / R0 )  I (G; S )  (S / R0 )
*Si Os fixe dans R0 :

 (O; S / R0 )  I (Os ; S )  (S / R0 )
Pour calculer un moment cinétique : 2 questions :
- le solide est il un solide ou un ensemble de
solides ?
- Est ce qu’on travaille en un point appartenant à ce
solide ? Si non : changement de point :
Energie cinétique d’un Solide S en mouvement
*Relation entre les Moments cinétiques entre deux points. quelconque.
 ( B; S / R0 )   ( A; S / R0 )  BA  m.V (G; E / R0 )
1  Torseur   Torseur 
Quand on veut  ( A; S / R0 ) , écrire : Ec ( S / R0 )      
2 cinétique G cinématiqu e G
 ( A; S / R0 )   (G; S / R0 )  AG  m.V (G; E / R0 ) Les torseurs cinétiques et cinématiques seront calculés au
et même point, de préférence G.

 (G; S / R0 )  I (G; S )  (S / R0 )
1 m.V (G, S / R0 )   s / RO 
Avec : avec : I(G; S) et (S / R0) exprimées dans la base du
Ec (S / R0 )      
solide. 2   (G, S / R0 ) G V (G, S / RO )G
*Conséquences pour un ensemble de solides :

Soit E un ensemble matériel constitué de n solides : Si 1 1
n Ec (S / R0 )   m.V (G, S / RO )2    (G, S / R0 )  S / RO
 ( A; E / R0 )    ( A; S / R0 ) 2 2
i 1
i
d 
 ( A; E / R0 )    ( A; E / R0 )  V ( A / R0 )  m.V (G; E / R0 ) Energie cinétique d’un ensemble constitué de plusieurs solides
 dt  R0
n n
m.V (G; E / R0 )   mi .V (Gi ; Ei / R0 ) Ec ( E / R0 )   Ec ( Si / R0 )
i 1 i 1
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Principe fondamental de la dynamique du solide.