Ch.V - Fonctions de transfert - p1


FONCTION DE TRANSFERT D'UN SYSTEME
LINEAIRE CONTINU ET INVARIANT


I – Fonction de transfert ou transmittance d'un système

1. Fonction de transfert, transmittance d'un système, bloc de transfert

A partir de l'équation différentielle d'un SLCI, il est possible de déterminer une fonction
(appelée fonction de transfert) qui caractérise le comportement du SLCI. Le schéma-blocs
fonctionnel peut alors être mis sous la forme d'un schéma-blocs qui contient toutes les
informations nécessaires pour simuler le système global.

Soit un Système Linéaire Continu invariant à monovariable. Si le système est dans les conditions
d'Heaviside, on définit la fonction de transfert du système par :

e(t) s(t)
S(p) S.L.C.I
H(p) =
E(p)
e( t ) →
L
E(p) s( t ) →
L
E(p)

Remarques :

- Les informations fournies par H(p) sont limitées, car les C.I. n'interviennent pas.
- La transformée inverse de H(p) n'a pas de sens physique.
- Dans le cas de multi-variables, on définit une matrice de transfert.
- La fonction de transfert caractérise le comportement intrinsèque du système et ne dépend ni de
l'entrée, ni de la sortie.

Exemple : reprenons l'exemple du SEGWAY® :

# Dans la chaîne d'action se trouve l'ensemble chariot + conducteur. Cet ensemble est régit
d 2β( t )
du point de vue dynamique par l'équation différentielle suivante : a = b Cm(t) + c β( t ) .
dt ²
Dans les conditions d'Heaviside, on peut écrire en symbolique :

d2 β ( t )
a = b Cm(t) + c β ( t ) →
L
[ap 2 − c ] β (p) = b Cm(p)
dt ²

Soit Hm(p) fonction de transfert de l'équipage
β b Cm(p) β(p)
mobile : Hm (p) = = Hm(p)
Cm (p) 2
ap − c



# Dans les chaînes de retour on trouve :

d(ψ(t))
Le gyromètre : u v ( t ) = K v Le pendule : u p ( t ) = K p ψ(t)
dt
 Ch.V - Fonctions de transfert - p2

Et de même dans les conditions d'Heaviside, le passage en symbolique donne :

Hg(p) fonction de transfert du gyromètre :
Ψ(p) UV(p)
U (p) K V Hg(p)
Hg (p) = V =
Ψ(P) p

Hp(p) fonction de transfert du gyromètre :
Ψ(p) UP(p)
U (p) HP(p)
HP (p) = P = KP
Ψ(P)




2. Systèmes particuliers : intégrateurs et dérivateurs

# Système intégrateur : un système sera dit intégrateur (intégration physique du signal d'entrée)
lorsque la fonction de transfert aura un pôle en p = 0.

# Système dérivateur : de même un système sera dit dérivateur, lorsque la fonction de transfert
aura un zéro en p = 0.

Remarque : cela se comprend bien à partir des théorèmes sur la dérivation et sur l'intégration
(Transformées de Laplace p2 et p3).

3. Forme canonique d'une fonction de transfert

On définit la forme canonique d'une fonction de transfert en mettant en facteur le terme de plus
bas degré au numérateur et au dénominateur. C'est sous cette forme, que la fonction de transfert
sera utilisée dans les études d'asservissement.

- L'ordre est alors le degré du dénominateur après simplification.
- Le gain est la constante apparaissant en facteur au numérateur

La forme générale canonique d'un système est alors :

avec : G(0) = 1 ;
G(p)
H(p) = K α K gain (statique si α = 0) ;
p [1 + b1p + ... + bnp n ]
α le nombre d'intégrateurs


# Forme canonique d'un système du premier ordre, obtenue à partir de l'équation
différentielle linéaire du premier ordre (voir Ch-III, §III 2.) :


ds( t ) E(p) K
S(p)
τ + s( t ) = K e( t ) →
L
S(p) [1 + τ p] = K E(p) H(p) =
dt 1+ τ p
 Ch.V - Fonctions de transfert - p3

Avec τ, constante de temps (> 0) en secondes, et K gain statique du système

Exemple :

Circuit RC, condensateur déchargé à l'instant t = 0. I K M
A partir de l'équation définie Ch-III on trouve : R
1 i(t)
H(p) =
1 + RCp e(t) u(t)
C
Le circuit RC proposé est donc d'un système du
premier ordre, de constante de temps τ = RC et de
J L N
gain statique K = 1.


# Forme canonique d'un système du deuxième ordre, obtenue à partir de l'équation
différentielle linéaire du deuxième ordre (voir Ch-III, §III 3.) :


d2 s( t ) ds( t )
2
+ 2ξω 0 + ω02 s( t ) = K ω02 e( t ) E(p) H(p) =
K
S(p)
dt dt 2ξ p2
1+ p+
ω0 ω0
2

(dans les conditions d'Heaviside)


ξ coefficient d'amortissement ;
ω0 pulsation propre des oscillations non amorties du système ;
K est toujours le gain statique du système.

ξ : sans unité ω0 : rad.s-1

Exemple :

Système masse / ressort, dans les conditions d'Heaviside.
A partir de l'équation définie Ch-III on trouve : x(t)
1 X X0
H(p) =
f m
1 + p + p2 k
k k
Le système masse/ressort est donc d'un système du y(t)
deuxième ordre avec : Y Y0
M

f
- Coefficient d'amortissement : ξ =
2 mk f
k
- Pulsation propre : ω =
m
- Gain statique : K = 1
 Ch.V - Fonctions de transfert - p4
II – Fonctions de transfert des systèmes bouclés

1. Le schéma-blocs

Un système réel comprend en général de multiples sous-systèmes plus simples, correspondant à
divers composants technologiques (électricité, mécanique hydraulique...).

On peut associer à chaque sous-système une transmittance, le diagramme fonctionnel peut alors
être mis sous la forme d'un schéma-blocs qui contient toutes les informations nécessaires pour
simuler le système global.


Exemple : dispositif de compensation de la Nacelle à flèche télescopique

Z(p)
(°)
V2/1(p)
X(p) U(p) ε(p) K1 Q(p) 1 ϕ(p) θ(p)
K2 C(p) B
(°) (V) (V) (V) 1+ τ1p S. p
(°) (°)
3 -1
(cm .s ) (cm)

Mθ(p) K2
(V) 1+ τ 2.p


Il est maintenant naturel de se poser la question de la détermination éventuelle de la fonction de
transfert globale du dispositif. Pour cela il est nécessaire définir quelques opérations sur les blocs.


2. "Opérations" sur un schéma-blocs

2.1. Blocs en série (en cascade)

X(t) X1(p) X2(p) Y(p)
G1(p) G2(p) G3(p)


On trouve pour chaque bloc :

X1 (p) = G1 (p) X(p) ; X2 (p) = G2 (p) X1 (p) ; Y(p) = G3 (p) X2 (p)

On trouve aisément par combinaison : G(p) = G1 (p) G2 (p) G3 (p)



X(t) Y(p)
G1(p) x G2(p) x G3(p)
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2.2. Deuxième cas : blocs en parallèle


Y1(p)
G1(p)


X(p) Y2(p) Y(p)
G2(p) +
-


Y3(p)
G3(p)

On trouve pour chaque bloc :

Y1 (p) = G1 (p) X(p)
Y2 (p) = G2 (p) X(p)
Y3 (p) = G3 (p) X(p)

On trouve aisément par combinaison : G(p) = G1 (p) + G2 (p) + G3 (p)

X(t) Y(p)
G1(p) + G2(p) + G3(p)


3. Fonction de transfert en boucle ouverte F.T.B.O.

On considère le système bouclé dont le diagramme fonctionnel est donné ci-dessous :


X(p) ε(p) Y(p)
+ K G(p)
-
XR(p)

R(p)


Pour l'étude de la stabilité des systèmes linéaires continus invariants asservis certains outils
utilisent la fonction de transfert du système non bouclé.

On considère le système dans son ensemble (avec la chaîne de retour qui interviendra lors du
fonctionnement du système bouclé), mais non fermé au niveau du comparateur. Cette étude sera
utile dans l'analyse des performances du système.
On exprime alors la relation entre le retour XR (p), et l'entrée ε(p). Les trois blocs sont en série
(cascade).
 Ch.V - Fonctions de transfert - p6
X(p) ε(p) Y(p)
K G(p) ε(t) XR(p)
FTBO(p)
XR(p) R(p)

XR (p)
O(p) = FTBO(p) = = K G(p) R(p)
ε (p)


Remarque : ne pas confondre la FTBO, avec la fonction de transfert de la chaîne directe, K.G(p). La
fonction de transfert en boucle ouverte est égale au produit des fonctions de transfert de la chaîne
directe, et de la chaîne de retour.


4. Fonction de transfert en boucle fermée F.T.B.F.

On procède maintenant à l'analyse du système bouclé. En appliquant les règles précédentes, on
obtient facilement la F.T.B.F., H(p).


Y(p) K.G(p)
X(t) Y(p)
F(p) = FTBF(p) = = FTBF(p)
X(p) 1 + K.G(p).R(p)


Remarque : on peut exprimer la fonction de transfert en boucle fermée ainsi,

[chaîne d' action]
FTBF(p) =
1 + FTBO(p)

5. Fonction de transfert réduite

L'étude du comportement d'un système en réponse harmonique (entrée sinusoïdale) met en
évidence l'utilisation d'un système à retour unitaire (voir l'étude du diagramme de Black en
deuxième année).

Pour cela on définit un système équivalent, qui comprend un système réduit à retour unitaire :

Système à retour non unitaire


X(p) ε(p) Y(p)
FTBO(p) = O(p) = K.G(p).R(p) + KG(p)
-
XR(p)
Y(p) K.G(p)
F(p) = =
X(p) 1 + K.G(p).R(p)
R(p)
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Système équivalent


X(p) ε(p) XR(p) 1 Y(p)
+ KG(p)R(p)
- R(p)




Système réduit


OR (p) = O(p) = K.G(p).R(p) même fonction de transfert en boucle ouverte

XR (p) K.G(p).R(p) O(p)
FR (p) = = =
X(p) 1 + K.G(p).R(p) 1 + O(p)
Système équivalent :

Y(p) HR (p)
= = F(p) même fonction de transfert en boucle fermée
X(p) R(p)


Le système réduit, est un système à retour unitaire, qui permet ainsi certaines études de
comportement. La fonction de transfert réduite FR(p) est la fonction de transfert en boucle fermée
de ce système.


III - Principe de superposition

1. Cas d'un système à plusieurs entrées

Soit un système de fonction de transfert H(p), sollicité par deux entrées X1(p) et X2(p). On note
Y(p) la sortie de ce système.
X1(t)
Y(p)
X2(t) H(p)



Annulons l'entrée X2(p) alors on trouve : Y1(p) = H(p) X1(p)

De même annulons l'entrée X1(p) on trouve : Y2(p) = H(p) X2(p)

Principe de superposition :

Ce principe stipule que dans le cas où les deux entrées sont existantes, alors la sortie du système
est :
Y(p) = Y1(p) + Y2(p)
 Ch.V - Fonctions de transfert - p8


2. Autre application

Soit un système constitué de deux blocs de fonction de transfert H(p) et G(p), sollicité par une
entrée E(p), et une seconde entrée D(p) pouvant représenter des perturbations. On note Y(p) la
sortie de ce système.

E(p) Y(p)
H(p) + H(p)
+
D(p)


Là encore on procède de la même façon en annulant successivement les deux entrées, puis on
applique le principe de superposition.

Annulons l'entrée D(p) alors on trouve : YE(p) = H(p) G(p) E(p)
De même annulons l'entrée E(p) on trouve : YD(p) = H(p) D(p)


Et ainsi : Y(p) = YE(p) + YD(p) = H(p) [ G(p) E(p) + D(p) ]
 Ch.V - Fonctions de transfert - p9

EXERCICES D'APPLICATION

Ex. 1 - Boucles imbriquées

Soit le système défini par le schéma fonctionnel ci-dessous :



E(p) ε1(p) X(p) ε 2(p) Y(p)
S(p)
-
+
- A(p) + B(p) C(p)
(I) (II)


Déterminer la fonction de transfert de ce système par deux méthodes différentes :

1. Par calcul.

2. Par réduction du schéma-blocs. Cette méthode est assez pratique