A. P. M. E. P.
[ CAPLP Concours externe et CAFEP
Section : Mathématiques – Physique–Chimie Session 2019
Épreuve écrite sur dossier de mathématiques
Durée : 4 heures


Le sujet est constitué de trois exercices indépendants qui peuvent être traités dans un ordre quelconque
Le premier exercice est un vrai–faux avec justification.
Le deuxième exercice est constitué de deux parties dont une partie de nature pédagogique.
Le troisième exercice est constitué de cinq parties.
Exercice 1
Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse. Une réponse non
justifiée ne rapporte aucun point.

1. On lance une pièce équilibrée deux fois. On note D l’évènement : « La pièce tombe sur deux côtés
différents» et A l’évènement : « La pièce tombe au plus une fois sur le côté face.»
PROPOSITION : Les évènements D et A sont indépendants.
p
2. On note (un )n∈N la suite de nombres réels définie par u0 = 5 et un+1 = 1 + un .
PROPOSITION : La suite (un )n∈N est convergente.
3. Dans le plan affine euclidien, on considère un triangle MNP tel que MP = 4, MN = 3 et tel que l’angle
géométrique PMN soit de 150°.
p p
PROPOSITION : La longueur du côté [PN] est égale à 25 + 12 3.
¡ ¢
4. Soit X = x, x2 , . . . , xn une série statistique de moyenne m et d’écart type σ, et soit a un nombre réel.
PROPOSITION : La série statistique Y = (x1 − a, x2 − a, . . . , xn − a) a pour moyenne m − a et pour
écart type σ.
³ → − → − →−´
5. Dans l’espace affine euclidien E muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k , on considère la sphère
S d’équation x 2 + y 2 + z 2 + 14x − 4y = 116.
PROPOSITION : Le plan P d’équation cartésienne 12x + 3y + 4z = 91 est tangent à la sphère S .
un
6. On considère la suite (un )n∈N définie par u0 = 1 et, pour tout n ∈ N, un+1 = q .
un2 + 1
1
PROPOSITION : Pour tout entier naturel n, un = p .
n +1
R2 → R2
µ ¶ µ ¶
7. Étant un réel donné m, on considère la fonction f m : x x +my
7−→ .
y mx − y
PROPOSITION : Quelle que soit la valeur du réel m, la fonction f m est bijective.
8. Soit f une fonction définie sur R et soit (un )n∈N une suite de nombres réels qui converge vers ℓ.
¡ ¢
PROPOSITION : La suite f (un ) n∈N converge vers f (ℓ).
9. Soit X une variable aléatoire admettant une fonction de densité f qui est continue sur R.
PROPOSITION : Il est possible que la fonction f soit croissante sur R.
p
1 3
10. On désigne par la lettre j le nombre complexe − + i . Dans le plan complexe P , on considère les
2 2
trois points A, B et C d’affixes 2, 1 + j, et 1 + j2 respectivement.
PROPOSITION : Le triangle ABC est équilatéral.
11. Lors de la transmission d’un message codé en binaire (sous la forme d’une suite de 0 et de1), la pro-
babilité qu’un bit (un 0 ou un 1) soit mal transmis est de 3 · 10−7 .
PROPOSITION : La probabilité qu’un message d’un kibioctet (1024 bits) ait au moins un bit erroné
est 0,000 307 au millionième près.
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12. On considère la fonction
f : R → R
( 1 1
e− x si x 6= 0 .
x 7−→ x2
0 si x =0

PROPOSITION : La fonction f est continue en 0.
³ → − → −´
13. Dans le plan affine euclidien P muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , on considère la droite D
d’équation 2x + 3y = 4, le point A(−2 ; 5) et un point M situé sur la droite D.
µPROPOSITION
¶ : La longueur AM est minimale lorsque les coordonnées du point M sont égales à
31 17
− ; .
10 5


Exercice 2
Cet exercice de type pédagogique est construit autour d’une activité sur la thématique « Contrôler la qua-
lité ».
Il est composé de trois parties indépendantes.
Il nécessite les annexes suivantes fournies en fin de sujet :
• annexe 1 : table bilatérale de la loi normale centrée réduite ;
• annexe 2 : extraits des programmes de seconde, première et terminale professionnelle ;
• annexe 3 : activité « Défauts de peinture » ;
• annexe 4 :copie d’écran d’une simulation réalisée avec un tableur.

Partie A
· ¸
1 1
L’objectif de cette partie est d’apporter une justification théorique à l’intervalle p − p ; p + p .
n n

1. a. Calculer l’espérance E(F ) de la variable aléatoire F .
r
p(1 − p)
b. Montrer que l’écart type de la variable aléatoire F est σ(F ) = .
n
On admet que dans le cas où n > 30, np > 5, et n(1 − p) > 5,on peut considérer que F suit la loi
normale de moyenne E(F ) et d’écart type σ(F ). On suppose que ces conditions sont vérifiées.
2. Soit U une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite. En annexe 1, se trouve une table
bilatérale de la loi normale centrée réduite, c’est-à-dire de la loi normale de moyenne 0 et d’écart type
1. Elle permet de lire pour une valeur donnée de z , la valeur de P (|U |) > z.
Déterminer, à l’aide de cette table ou d’une calculatrice, une valeur approchée à 10−2 près du réel z
tel que : P (−z 6 U 6 z) = 0, 95.
3. En utilisant ce résultat, justifier que pour environ 95 % des échantillons de taille n la fréquence des
boules noires appartient à l’intervalle
" s s #
p(1 − p) p(1 − p)
p − 1, 96 ; p + 1, 96
n n

4. On considère maintenant la fonction ϕ définie par :

ϕ : [0 ; 1] → R
x 7−→ x(1 − x)

Établir, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction ϕ sur R.
· r r ¸
p(1 − p) p(1 − p)
5. En déduire que l’intervalle p − 1, 96 ; p + 1, 96 est inclus dans l’intervalle
n n
· ¸
1 1
p−p ; p+p .
n n



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6. Une valeur de n étant donnée, on souhaite calculer numériquement les bornes de l’intervalle
· ¸
1 1 1
p − p ; p + p . Doit-on choisir un arrondi par défaut, ou un arrondi par excès de la valeur p ?
n n n

Partie B

1. En utilisant les extraits du programme de mathématiques fournis en annexe 2, préciser la classe dont
le programme contient la notion d’intervalle de fluctuation.
Un professeur de lycée professionnel souhaite réaliser une séance d’in...