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Catégorie :Category: nCreator TI-Nspire
Auteur Author: Abdoulrahim
Type : Classeur 3.0.1
Page(s) : 1
Taille Size: 5.18 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 27/11/2024 - 01:55:06
Uploadeur Uploader: Abdoulrahim (Profil)
Téléchargements Downloads: 2
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a4346004
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Description
Fichier Nspire généré sur TI-Planet.org.
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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Oui, mais ce n'est qu'une partie de la réponse . Dire que toutes les dérivées de deuxième ordre existent garantit seulement que les outils nécessaires pour analyser le problème (comme le gradient et la matrice hessienne) sont bien définis. Cependant, cela ne suffit pas pour garantir que la minimisation d'un critère quadratique soit bien posée et réussie. Voici une version plus claire en répondant directement à ta question avec ce point intégré : Pour minimiser un critère quadratique : Les dérivées doivent exister : Oui, dire que les dérivées de deuxième ordre de la fonction objectif et des contraintes existent est important. Cela garantit quon peut calculer le gradient ( f nabla f ) et la matrice hessienne ( Q Q , qui représente la courbure). La fonction doit être convexe : Pour quil y ait un minimum global , la matrice Q Q (la hessienne de f f ) doit être définie positive : Tous ses valeurs propres doivent être positives. Cela assure que la fonction a une forme de "bol", avec un minimum unique. Les contraintes doivent être compatibles (si présentes) : Si le problème inclut des contraintes, elles doivent être bien définies, différentiables, et compatibles avec la convexité du problème. La méthode de la plus forte pente (ou descente de gradient) consiste à minimiser une fonction en suivant le sens opposé du gradient au point actuel. Bien que cette méthode soit intuitive, elle ne garantit pas toujours la convergence pour plusieurs raisons. Rappel de la méthode de la plus forte pente À chaque itération, la mise à jour est donnée par : x k + 1 = x k ± k f ( x k ) x_{k+1} = x_k - alpha_k nabla f(x_k) où : f ( x k ) nabla f(x_k) est le gradient au point x k x_k , ± k alpha_k est le pas de descente (ou taux dapprentissage), f ( x ) f(x) est la fonction quon veut minimiser. Raisons pour lesquelles la méthode ne converge pas toujours Choix inadéquat du pas ( ± k alpha_k ) : Si ± k alpha_k est trop grand , les itérations peuvent diverger (sauter le minimum). Si ± k alpha_k est trop petit , la convergence peut devenir très lente. Une mauvaise règle pour ajuster ± k alpha_k (par exemple, fixer un pas constant sans adaptation) peut empêcher la méthode d'atteindre le minimum. Conditionnement de la matrice hessienne : Si la fonction à minimiser est mal conditionnée (les contours sont très étirés, comme une ellipse très allongée), les directions de descente ne mènent pas directement au minimum. La méthode peut alors osciller ou progresser très lentement. Exemple typique : minimisation dune fonction quadratique f ( x ) = 1 2 x T Q x f(x) = frac{1}{2}x^T Q x , où Q Q a des valeurs propres très différentes (matrice mal conditionnée). Comportement non-convexe de la fonction : Si la fonction f ( x ) f(x) nest pas convexe (avec plusieurs minima locaux), la méthode peut se bloquer dans un minimum local sans atteindre le minimum global. Problèmes liés au calcul numérique : Si f ( x k ) nabla f(x_k) devient très petit mais non nul, les erreurs numériques (approximations flottantes) peuvent empêcher la progression correcte de la méthode. Cela peut donner lillusion que la méthode a convergé alors quelle ne la pas. Absence de règle d'arrêt robuste : Si la méthode na pas de critère darrêt bien défini (par exemple, sur le gradient ou le changement dans la fonction objectif), elle peut ne jamais atteindre un résultat utile. Exemple simple Supposons qu'on veuille minimiser une fonction quadratique mal conditionnée comme : f ( x , y ) = 100 x 2 + y 2 f(x, y) = 100x^2 + y^2 Les contours de cette fonction forment une ellipse très étirée. La méthode de la plus forte pente avancera lentement car elle oscille entre les parois de lellipse, ne progressant que très peu vers le minimum. Résumé La méthode de la plus forte pente ne converge pas toujours à cause de : Un mauvais choix du pas ( ± k alpha_k ). Une fonction mal conditionnée (formes étirées). Des problèmes liés aux minima locaux dans des fonctions non convexes. Des limitations numériques ou un mauvais critère d'arrêt. Des méthodes plus avancées comme les méthodes de conjugaison ou les méthodes quasi-Newton corrigent souvent ces problèmes. Résumé détaillé et complet pour répondre à la question : Une direction d k d_k est une direction de descente pour une fonction f ( x ) f(x) si elle satisfait linégalité suivante : g ( x k ) T d k < 0 , g(x_k)^T d_k < 0, où g ( x k ) = f ( x k ) g(x_k) = nabla f(x_k) est le gradient de f ( x ) f(x) au point x k x_k . Cette condition peut être expliquée en plusieurs points : 1. Interprétation géométrique Le gradient g ( x k ) g(x_k) pointe dans la direction de la plus forte augmentation de la fonction f ( x ) f(x) au point x k x_k . Le produit scalaire g ( x k ) T d k g(x_k)^T d_k mesure lalignement entre la direction d k d_k et le gradient g ( x k ) g(x_k) . Si g ( x k ) T d k > 0 g(x_k)^T d_k > 0 , d k d_k pointe dans la même direction que le gradien
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Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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Oui, mais ce n'est qu'une partie de la réponse . Dire que toutes les dérivées de deuxième ordre existent garantit seulement que les outils nécessaires pour analyser le problème (comme le gradient et la matrice hessienne) sont bien définis. Cependant, cela ne suffit pas pour garantir que la minimisation d'un critère quadratique soit bien posée et réussie. Voici une version plus claire en répondant directement à ta question avec ce point intégré : Pour minimiser un critère quadratique : Les dérivées doivent exister : Oui, dire que les dérivées de deuxième ordre de la fonction objectif et des contraintes existent est important. Cela garantit quon peut calculer le gradient ( f nabla f ) et la matrice hessienne ( Q Q , qui représente la courbure). La fonction doit être convexe : Pour quil y ait un minimum global , la matrice Q Q (la hessienne de f f ) doit être définie positive : Tous ses valeurs propres doivent être positives. Cela assure que la fonction a une forme de "bol", avec un minimum unique. Les contraintes doivent être compatibles (si présentes) : Si le problème inclut des contraintes, elles doivent être bien définies, différentiables, et compatibles avec la convexité du problème. La méthode de la plus forte pente (ou descente de gradient) consiste à minimiser une fonction en suivant le sens opposé du gradient au point actuel. Bien que cette méthode soit intuitive, elle ne garantit pas toujours la convergence pour plusieurs raisons. Rappel de la méthode de la plus forte pente À chaque itération, la mise à jour est donnée par : x k + 1 = x k ± k f ( x k ) x_{k+1} = x_k - alpha_k nabla f(x_k) où : f ( x k ) nabla f(x_k) est le gradient au point x k x_k , ± k alpha_k est le pas de descente (ou taux dapprentissage), f ( x ) f(x) est la fonction quon veut minimiser. Raisons pour lesquelles la méthode ne converge pas toujours Choix inadéquat du pas ( ± k alpha_k ) : Si ± k alpha_k est trop grand , les itérations peuvent diverger (sauter le minimum). Si ± k alpha_k est trop petit , la convergence peut devenir très lente. Une mauvaise règle pour ajuster ± k alpha_k (par exemple, fixer un pas constant sans adaptation) peut empêcher la méthode d'atteindre le minimum. Conditionnement de la matrice hessienne : Si la fonction à minimiser est mal conditionnée (les contours sont très étirés, comme une ellipse très allongée), les directions de descente ne mènent pas directement au minimum. La méthode peut alors osciller ou progresser très lentement. Exemple typique : minimisation dune fonction quadratique f ( x ) = 1 2 x T Q x f(x) = frac{1}{2}x^T Q x , où Q Q a des valeurs propres très différentes (matrice mal conditionnée). Comportement non-convexe de la fonction : Si la fonction f ( x ) f(x) nest pas convexe (avec plusieurs minima locaux), la méthode peut se bloquer dans un minimum local sans atteindre le minimum global. Problèmes liés au calcul numérique : Si f ( x k ) nabla f(x_k) devient très petit mais non nul, les erreurs numériques (approximations flottantes) peuvent empêcher la progression correcte de la méthode. Cela peut donner lillusion que la méthode a convergé alors quelle ne la pas. Absence de règle d'arrêt robuste : Si la méthode na pas de critère darrêt bien défini (par exemple, sur le gradient ou le changement dans la fonction objectif), elle peut ne jamais atteindre un résultat utile. Exemple simple Supposons qu'on veuille minimiser une fonction quadratique mal conditionnée comme : f ( x , y ) = 100 x 2 + y 2 f(x, y) = 100x^2 + y^2 Les contours de cette fonction forment une ellipse très étirée. La méthode de la plus forte pente avancera lentement car elle oscille entre les parois de lellipse, ne progressant que très peu vers le minimum. Résumé La méthode de la plus forte pente ne converge pas toujours à cause de : Un mauvais choix du pas ( ± k alpha_k ). Une fonction mal conditionnée (formes étirées). Des problèmes liés aux minima locaux dans des fonctions non convexes. Des limitations numériques ou un mauvais critère d'arrêt. Des méthodes plus avancées comme les méthodes de conjugaison ou les méthodes quasi-Newton corrigent souvent ces problèmes. Résumé détaillé et complet pour répondre à la question : Une direction d k d_k est une direction de descente pour une fonction f ( x ) f(x) si elle satisfait linégalité suivante : g ( x k ) T d k < 0 , g(x_k)^T d_k < 0, où g ( x k ) = f ( x k ) g(x_k) = nabla f(x_k) est le gradient de f ( x ) f(x) au point x k x_k . Cette condition peut être expliquée en plusieurs points : 1. Interprétation géométrique Le gradient g ( x k ) g(x_k) pointe dans la direction de la plus forte augmentation de la fonction f ( x ) f(x) au point x k x_k . Le produit scalaire g ( x k ) T d k g(x_k)^T d_k mesure lalignement entre la direction d k d_k et le gradient g ( x k ) g(x_k) . Si g ( x k ) T d k > 0 g(x_k)^T d_k > 0 , d k d_k pointe dans la même direction que le gradien
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