TVI et Bijection
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Catégorie :Category: nCreator TI-Nspire
Auteur Author: Malikooo92
Type : Classeur 3.0.1
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Mis en ligne Uploaded: 14/06/2012 - 23:54:44
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Téléchargements Downloads: 1504
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a5675
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Description
Fichier Nspire généré sur TI-Planet.org.
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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- Théorème des valeurs intermédiaires TVI : Si f est une fonction continue sur un intervalle [a;b] , alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de l'intervalle [a;b] tel que f(c) = k. - Théorème de la bijection (corollaire du TVI) Bijection : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur l'intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c de l'intervalle [a;b] tel que f(c) = k. Démonstration : Soit f une fonction conttinue et strictement monotone sur [a;b] Existence : D'après le TVI, l'équation f(x) = k admet au moins une solution sur [a;b] pour tout k compris entre f(a) et f(b). Unicité : Raisonnons par l'absurde : Supposons qu'il existe 2 réels C 1 et C 2 différents de [a;b], tels que f(c 1 ) = f(c 2 ) = k. Supposons par exemple c 1 < c 2 . Si f strict. croissante, f(c 1 ) < f(c 2 ) Si f strict. décroissante, f(c 1 ) > f(c 2 ) ==> Contradiction avec f(c 1 ) = f(c 2 ) = k. CQFD. Application en 5 étapes : f(x) = x 3 + x sur [-1;1] Solutions de f(x) = 1 ? 1- f est dérivable donc continue sur [-1;1] 2- f'(x) = 3x²+1 > 0 Pour tout x |R ; donc f est strictement croissante sur [-1;1] 3- f(-1) = -2 , f(1) = 2 et 1 [-2;2] 4- Donc d'après le théorème de la bijection , 5- l'équation f(x) = 1 admet une unique solution sur [-1;1].
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Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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- Théorème des valeurs intermédiaires TVI : Si f est une fonction continue sur un intervalle [a;b] , alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de l'intervalle [a;b] tel que f(c) = k. - Théorème de la bijection (corollaire du TVI) Bijection : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur l'intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c de l'intervalle [a;b] tel que f(c) = k. Démonstration : Soit f une fonction conttinue et strictement monotone sur [a;b] Existence : D'après le TVI, l'équation f(x) = k admet au moins une solution sur [a;b] pour tout k compris entre f(a) et f(b). Unicité : Raisonnons par l'absurde : Supposons qu'il existe 2 réels C 1 et C 2 différents de [a;b], tels que f(c 1 ) = f(c 2 ) = k. Supposons par exemple c 1 < c 2 . Si f strict. croissante, f(c 1 ) < f(c 2 ) Si f strict. décroissante, f(c 1 ) > f(c 2 ) ==> Contradiction avec f(c 1 ) = f(c 2 ) = k. CQFD. Application en 5 étapes : f(x) = x 3 + x sur [-1;1] Solutions de f(x) = 1 ? 1- f est dérivable donc continue sur [-1;1] 2- f'(x) = 3x²+1 > 0 Pour tout x |R ; donc f est strictement croissante sur [-1;1] 3- f(-1) = -2 , f(1) = 2 et 1 [-2;2] 4- Donc d'après le théorème de la bijection , 5- l'équation f(x) = 1 admet une unique solution sur [-1;1].
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