Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI




ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
ET SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES


1 INTRODUCTION AUX ÉQUATIONS LINÉAIRES

• Le concept de linéarité nous occupera longuement au second semestre et une présentation informelle sera pour l’ins-
tant suffisante. Vous avez déjà rencontré ce mot dans différents contextes. Ci-dessous, λ et µ sont des réels quel-
conques.
— Linéarité de la dérivation d’une fonction dérivable : (λ f + µg)′ = λ f ′ + µg ′ .
Z b€ Z b Z b
Š
— Linéarité de l’intégrale d’une fonction continue : λ f (t)+µg(t) dt = λ f (t) dt+µ g(t) dt.
a a a

— Linéarité du produit scalaire par rapport à chacune de ses variables :

→





λ− →
u +µ − →v ·−w =λ − →u ·−→
w +µ − →v ·−
→w et −
→u · λ− →
v +µ − →
w =λ −
→
u ·−
→
v +µ −
→
u ·−
→
w .

— Linéarité de la limite d’une suite convergente : lim (λun + µvn ) = λ lim un + µ lim vn .
n→+∞ n→+∞ n→+∞

On pourrait citer beaucoup d’autres exemples. Dans tous les cas, la linéarité est la propriété d’une fonction T définie sur
un certain ensemble E, qui s’énonce ainsi : ∀x, y ∈ E, ∀λ, µ ∈ R, T (λx + µ y) = λT (x) + µT ( y) (linéarité).


• Avec les mêmes notations, toute équation de la forme T ( y) = b d’inconnue y pour un certain b fixé est appelée une
équation linéaire et b est appelé son second membre. Lorsque b = 0 (fonction nulle, vecteur nul, suite nulle. . . selon
le contexte), l’équation est dite homogène ou sans second membre.

• Faisons l’hypothèse que, souhaitant trouver toutes les solutions de l’équation linéaire T ( y) = b d’inconnue y, nous
en connaissions au moins une solution particulière ypart . Dans ces conditions :

Linéarité
T ( y) = b ⇐⇒ T ( y) = T ( ypart ) ⇐⇒ T ( y) − T ( ypart ) = 0 ⇐⇒ T ( y − ypart ) = 0
de T
⇐⇒ y − ypart est solution de l’équation HOMOGÈNE associée
⇐⇒ y est la somme de la solution particulière ypart et d’une solution de l’équation HOMOGÈNE .

Propriété fondamentale s’il en est ! En résumé :

Pour trouver toutes les solutions d’une équation LINÉAIRE T ( y) = b, il suffit d’en connaître UNE
solution particulière et TOUTES les solutions de l’équation homogène T ( y) = 0.

Tâchons de comprendre mieux ce principe général sur quelques exemples :

— On veut résoudre l’équation linéaire f ′ = cos d’inconnue f ∈ D(R, R). La fonction sinus en est
une solution particulière car sin′ = cos. Quant aux solutions de l’équation homogène f ′ = 0, ce
sont toutes les fonctions constantes sur R. Les solutions de l’équation complète sont donc toutes les
fonctions x 7−→ sin x + λ, λ décrivant R — la fameuse « constante de primitivation ».

— Soient −→
u un vecteur non nul du plan et a ∈ R. On veut résoudre l’équation linéaire − →
u ·−→x =a
−→ a−→
u −
→ a−
→u −
→
u ·−→
u
d’inconnue x . Le vecteur 2 en est une solution particulière car u · 2 = a × 2 = a.
−→u −
→u −
→u
−
au→
Les solutions cherchées sont donc tous les vecteurs 2 + − →n où −→n est un vecteur
−
→u
−
→
quelconque orthogonal à − →
u . Ce résultat est géométriquement naturel si l’on se sou- O
u
P b b



vient que le produit scalaire s’interprète en termes de projection orthogonale. Chercher
tous les vecteurs −
→
x pour lesquels − →u ·−
→x = a, c’est chercher tous les vecteurs −
→
x dont
−→ a−
→
u
l’extrémité a pour projeté orthogonal le point P de la figure ci-contre. OP = −→
k u k2

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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI



• Une autre propriété des équations LINÉAIRES va compter dans ce chapitre, c’est le principe de superposition.

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