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Catégorie :Category: nCreator TI-Nspire
Auteur Author: gum
Type : Classeur 3.0.1
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Mis en ligne Uploaded: 13/12/2012 - 19:28:13
Uploadeur Uploader: gum (Profil)
Téléchargements Downloads: 179
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a9701
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Description
Fichier Nspire généré sur TI-Planet.org.
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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4 Congruence dans Z 4.1 D efinition On note n e 2 un entier naturel et a et b deux entiers relatifsOn dit que a et b sont congrus modulo n et on note a a b [ n ]si les divisions euclidiennes de a et de b par n ont le mÆeme reste. Exemples : 33 a 13(5) 29 a 121(5) 623 a 17(10) 4.2 Propri et es On note n et n 2 deux entiers naturels tels que n e 2 et n 2 e 2On note a et b deux entiers relatifs ( P 1 ) : a a b [ n ] Ô n | ( a b ) D emonstration : ' Si a a b [ n ] alors il existe un unique couple ( q, r ) dentiers tel que a = qn + r avec 0 d r < n et ununique couple ( q 2 , r ) dentiers tel que b = q 2 n + r avec 0 d r < n donc a b = qn + r q 2 n r = n ( q q 2 ) donc n | ( a b ) ' Si n | ( a b ) alors il existe k N tel que a b = kn . Dapr`es la division euclidienne, il existe un couple unique ( q, r ) dentiers tel que a = qn + r avec0 d r<n et un couple( q 2 ,r 2 ) dentiers tel que b = q 2 n + r 2 avec 0 d r 2 <n .Donc a b = n ( q q 2 )+( r r 2 ) avec n<r r 2 <n Comme a b est un multiple de n alors r r 2 est un multiple de n . Or r r 2 N et le seul entier multiple de n dans] n,n [ est 0 donc r r 2 =0 donc r = r 2 et donc a a b [ n ] ( P 2 ) : a a 0[ n ] Ô n | a D emonstration : Cest un cas particulier de la propri et e pr ec edente ( P 1 ) pour b = 0. ( P 3 ) : Si n 2 | n alors a a b [ n ] Ò a a b ( n 2 ) D emonstration : Si n 2 | n alors il existe k N tel que n = k × n 2 alors: ' Si a a b [ n ] alors il existe p N tel que a = b + pn donc a = b + p ( kn 2 ) = b + ( pk ) n 2 or pk 2 N donc a a b ( n 2 ) .3 Congruence et op erations Th eor`eme 1 : On note a , a 2 , b et b 2 quatre entiers relatifs quelconques a a a 2 [ n ] et b a b 2 [ n ] Ò a + b a a 2 + b 2 [ n ] et a b a a 2 b 2 [ n ] et k Z , ka a ka 2 [ n ] et a × b a a 2 × b 2 [ n ] et pour tout p N , a p a a 2 p [ n ] D emonstration : Si a a a 2 [ n ] alors il existe k 1 N tel que a = a 2 + k 1 n Si b a b 2 [ n ] alors il existe k 2 N tel que b = b 2 + k 2 n ' a + b = a 2 + k 1 n + b 2 + k 2 n = ( a 2 + b 2 ) + ( k 1 + k 2 ) n donc a + b a a 2 + b 2 [ n ] ' a b = a 2 + k 1 n b 2 k 2 n = ( a 2 b 2 ) + ( k 1 k 2 ) n donc a b a a 2 b 2 [ n ] ' k Z , ka = ka 2 + ( kk 1 ) n donc ka a ka 2 [ n ] ' ab =( a 2 + k 1 n )(+ b 2 + k 2 n )= a 2 b 2 + a 2 k 2 n + b 2 k 1 n + k 1 k 2 n 2 = a 2 b 2 +( a 2 k 2 + b 2 k 1 + k 1 k 2 n ) n donc ab a a 2 b 2 [ n ] ' On d emontre cette partie par r ecurrence :On note P k la propri et e : j a k a a 2 k [ n ] k Initialisation : On a a 1 a a 2 1 [ n ] donc P 1 est vraie. H er edit e : On suppose que P k est vraie au rang k et donc que a k a a 2 k [ n ] a k +1 = a k × a a a 2 k × a 2 [ n ] donc a k +1 a a 2 k +1 [ n ] Conclusion : k N ,on a a k a a 2 k [ n ]
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4 Congruence dans Z 4.1 D efinition On note n e 2 un entier naturel et a et b deux entiers relatifsOn dit que a et b sont congrus modulo n et on note a a b [ n ]si les divisions euclidiennes de a et de b par n ont le mÆeme reste. Exemples : 33 a 13(5) 29 a 121(5) 623 a 17(10) 4.2 Propri et es On note n et n 2 deux entiers naturels tels que n e 2 et n 2 e 2On note a et b deux entiers relatifs ( P 1 ) : a a b [ n ] Ô n | ( a b ) D emonstration : ' Si a a b [ n ] alors il existe un unique couple ( q, r ) dentiers tel que a = qn + r avec 0 d r < n et ununique couple ( q 2 , r ) dentiers tel que b = q 2 n + r avec 0 d r < n donc a b = qn + r q 2 n r = n ( q q 2 ) donc n | ( a b ) ' Si n | ( a b ) alors il existe k N tel que a b = kn . Dapr`es la division euclidienne, il existe un couple unique ( q, r ) dentiers tel que a = qn + r avec0 d r<n et un couple( q 2 ,r 2 ) dentiers tel que b = q 2 n + r 2 avec 0 d r 2 <n .Donc a b = n ( q q 2 )+( r r 2 ) avec n<r r 2 <n Comme a b est un multiple de n alors r r 2 est un multiple de n . Or r r 2 N et le seul entier multiple de n dans] n,n [ est 0 donc r r 2 =0 donc r = r 2 et donc a a b [ n ] ( P 2 ) : a a 0[ n ] Ô n | a D emonstration : Cest un cas particulier de la propri et e pr ec edente ( P 1 ) pour b = 0. ( P 3 ) : Si n 2 | n alors a a b [ n ] Ò a a b ( n 2 ) D emonstration : Si n 2 | n alors il existe k N tel que n = k × n 2 alors: ' Si a a b [ n ] alors il existe p N tel que a = b + pn donc a = b + p ( kn 2 ) = b + ( pk ) n 2 or pk 2 N donc a a b ( n 2 ) .3 Congruence et op erations Th eor`eme 1 : On note a , a 2 , b et b 2 quatre entiers relatifs quelconques a a a 2 [ n ] et b a b 2 [ n ] Ò a + b a a 2 + b 2 [ n ] et a b a a 2 b 2 [ n ] et k Z , ka a ka 2 [ n ] et a × b a a 2 × b 2 [ n ] et pour tout p N , a p a a 2 p [ n ] D emonstration : Si a a a 2 [ n ] alors il existe k 1 N tel que a = a 2 + k 1 n Si b a b 2 [ n ] alors il existe k 2 N tel que b = b 2 + k 2 n ' a + b = a 2 + k 1 n + b 2 + k 2 n = ( a 2 + b 2 ) + ( k 1 + k 2 ) n donc a + b a a 2 + b 2 [ n ] ' a b = a 2 + k 1 n b 2 k 2 n = ( a 2 b 2 ) + ( k 1 k 2 ) n donc a b a a 2 b 2 [ n ] ' k Z , ka = ka 2 + ( kk 1 ) n donc ka a ka 2 [ n ] ' ab =( a 2 + k 1 n )(+ b 2 + k 2 n )= a 2 b 2 + a 2 k 2 n + b 2 k 1 n + k 1 k 2 n 2 = a 2 b 2 +( a 2 k 2 + b 2 k 1 + k 1 k 2 n ) n donc ab a a 2 b 2 [ n ] ' On d emontre cette partie par r ecurrence :On note P k la propri et e : j a k a a 2 k [ n ] k Initialisation : On a a 1 a a 2 1 [ n ] donc P 1 est vraie. H er edit e : On suppose que P k est vraie au rang k et donc que a k a a 2 k [ n ] a k +1 = a k × a a a 2 k × a 2 [ n ] donc a k +1 a a 2 k +1 [ n ] Conclusion : k N ,on a a k a a 2 k [ n ]
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