Révisons aujourd'hui les Maths du BAC STI2D/STL 2014 de demain, en corrigeant l'exercice de suites et algorithmes tombé lundi en Polynésie française:
Question 1 :En 2009, les administrés ont produit en moyenne
$mathjax$\frac{23000}{53700}\approx 0,428t \approx 428kg$mathjax$
de déchets ménagers par habitant.
Or, cela est supérieur à la moyenne nationale de 374kg, d'où la déception du maire, sa commune faisant office de mauvais élève.
Question 2-a :Chaque année, la production moyenne de déchets diminue de 1,5%.
Cela correspond à un coefficient multiplicateur de
$mathjax$\left(1-\frac{1,5}{100}\right)=1-0,015=0,985$mathjax$
Donc
$mathjax$d_1=0,985d_0$mathjax$
.
Question 2-b :De même on généralise pour tout entier naturel n:
$mathjax$d_{n+1}=0,985d_n$mathjax$
$mathjax$\left(d_n\right)$mathjax$
est donc une suite géométrique de raison 0,985 et de premier terme
$mathjax$d_0=400$mathjax$
.
On en déduit pour tout entier naturel n:
$mathjax$d_n=d_0 q^n=400\times 0,985^n$mathjax$
$mathjax$\lim\limits_{x\to +\infty} 0,985^n=0$mathjax$
car
$mathjax$-1<0,985<1$mathjax$
Donc
$mathjax$\lim\limits_{x\to +\infty} d_n=0$mathjax$
Question 2-c :$mathjax$2014=2011+n\Leftrightarrow n=2014-2011=3$mathjax$
.
En 2014, la production en kg sera donc
$mathjax$d_3=400\times 0,985^3\approx 382$mathjax$
.
Question 3 :L'algorithme s'article autour d'une boucle "tant que", de condition de poursuite d>374.
Il s'arrête donc sur la réalisation de la condition contraire: d≤374.
La variable d est initialisée à d[sub]0[/sub=400 et affectée de façon récurrente à 0,985d dans la boucle.
Elle prend donc pour valeurs les termes de la suite
$mathjax$\left(d_n\right)$mathjax$
.
La variable n initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle est donc l'indice associé à la variable d.
Cet algorithme recherche donc l'indice du premier terme de
$mathjax$\left(d_n\right)$mathjax$
inférieur ou égal à 374
Remis dans le contexte du problème, l'algorithme recherche le rang de la première année où la production moyenne de déchets ménagers de la commune deviendra inférieure ou égale à la production moyenne nationale.
Pour connaître la valeur N affichée, programmons l'algorithme sur notre calculatrice graphique:
Voici des programmes pour TI-76/82/83/84, TI-Nspire, HP-39gII/Prime, Casio Graph/Prizm/fx-CG et Casio Classpad/fx-CP:
La valeur de 5 retournée à chaque fois signifie donc que c'est en 2011+5=2016 que la production moyenne de la commune deviendra inférieure ou égale à la production nationale.
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