[critor]

Voici ce soir la correction de l'algorithme tombé à l'épreuve de Mathématiques commune aux BAC ES et L 2013, ce mois-ci en Nouvelle Calédonie (mars 2014).

Il s'agit de l'exercice 4 noté sur 5 points, et donc à traiter de préférence en moins de 45 minutes:


Question 5)a)
On nous demande donc une espèce de trace de l'algorithme, présenter l'état des variables au cours de son exécution.
Il va donc nous falloir d'une façon ou d'une autre évaluer cet algorithme.

Le tableau fourni à compléter suggère qu'il y a 3 passages dans la boucle représentés par 3 étapes en plus de l'initialisation.
Habituellement, chaque étape représente ou l'état en fin de boucle, ou l'état en début de boucle.
Or, ce n'est pas le cas ici... Ce tableau est en effet assez étrange, au sens où les valeurs présentées dans les cinq premières colonnes sont calculées non pas à partir des valeurs de a et b de la même étape mais de celles de l'étape précédente.
L'état décrit par une ligne de ce tableau correspond donc à un état intermédiaire en milieu de boucle, lorsque l'on a effectué les calculs des 4 premières colonnes mais pas encore modifié les valeurs de a et b.

Si on a pu déterminer cet endroit exact, l'intérêt est que l'on peut donc demander directement à notre calculatrice graphique de nous sortir le tableau, en modifiant l'algorithme avec un affichage au bon endroit:

Code: Select all

Variables:
   a,b,m et r sont des nombres réels
Initialisation:
   Affecter à a la valeur 3
   Affecter à b la valeur 3,05
Entrée:
   Saisir r
Traitement:
   TANT QUE b-a>r
      Affecter à m la valeur (a+b)/2
      Afficher b-a, b-a>r, m, f(m), f(m)>0, a, b (*)
      SI f(m)>0
         ALORS Affecter à a la valeur m
         SINON Affecter à b la valeur m
      FIN SI
   FIN TANT QUE
Sortie:
   Afficher a
   Afficher b

(*) ligne rajoutée

Il faudra juste prendre soin sur notre calculatrice de définir la fonction f. Cela peut être fait directement dans le code du programme, solution que je présente ci-après. Mais on peut aussi parfaitement définir la même fonction dans l'application dédiée de la calculatrice, avant de lancer le programme.

Sur TI-76/82/83/84, nous utiliserons Y₁ variable système spéciale pouvant recevoir l'expression d'une fonction.
Toutefois, cette variable n'est pas une fonction pour autant pour la calculatrice: f(5) ne s'obtient pas en tapant Y₁(5) qui est une simple multiplication pour la calculatrice, mais en affectant la variable de la fonction pour ensuite faire appel à son expression.
Nous avons en prime une commande sympa nous permettant d'effectuer en même temps l'arrondi demandé par l'énoncé.
Les tests afficheront 1 lorsqu'ils seront vrais, et 0 lorsque faux.
Enfin, l'affichage de l'état intermédiaire étant très long, nous remplacerons l'instruction usuelle 'Disp' par 'Pause', qui comme son nom l'indique permet de suspendre le programme mais aussi de permettre à l'utilisateur de faire défiler le résultat.
Voici ce que ça nous donne:


Sur Casio Graph/fx-CG, nous ferons quasiment les mêmes remarques. C'est le même genre de langage non-fonctionnel, à la différence que je ne crois pas qu'il existe d'instruction pour arrondir.
Afin de limiter le nombre de captures d'écrans, je mets parfois plusieurs instructions sur une même ligne de code, séparées par le symbole deux-points. Vous pouvez parfaitement aller à la ligne à la place.


Sur TI-Nspire/89/92/Voyage, nous avons enfin la notion de fonction, mais aussi de tests.
Donc plus besoin d'affecter la variable de la fonction avant d'y faire appel, et les tests afficheront en anglais true/false.
On peut à nouveau arrondir directement dans le programme.

Sur Casio Classpad/fx-CP c'est presque pareil, à part que lorsque l'on veut afficher le résultat d'un test il faut en forcer l'évaluation à l'aide de la fonction 'judge'.
Comme sur les Casio ci-dessus, je ne connais pas de moyen rapide ou simple d'arrondir directement dans le programme.

Enfin sur HP-39gII/Prime, il y a plusieurs façons de définir une fonction. J'en retiens une qui a l'avantage de fonctionner sur les deux modèles en faisant appel à la variable système F1.
Et là, nous pouvons à nouveau arrondir correctement:


D'où le tableau final, à compléter à partir des résultats affichés dans le sens de lecture, de gauche à droite et de haut en bas, en commençant à la 1ère ligne avant-dernière colonne:

	b-a	b-a>r	m	f(m)	f(m)>0	a	b
Initialisation						3	3,05
étape 1	0,05	vrai	3,025	0,485	vrai	3,025	3,05
étape 2	0,025	vrai	3,0375	0,218	vrai	3,0375	3,05
étape 3	0,0125	vrai	3,04375	0,082	vrai	3,04375	3,05

On confirme d'ailleurs que ce tableau tel que demandé n'est pas très logique, puisque la colonne f(m)>0 ne sert à rien, étant toujours à vrai.


Question 5)b)
Cet algorithme effectue par dichotomie un encadrement de la solution α de l'équation f(x)=0, sur l'intervalle [3;3,05] de la question 4)d).
Il s'articule autour d'une boucle "tant que" ayant pour condition de poursuite b-a>r.
La sortie de boucle fait donc suite à la réalisation de la condition contraire: b-a≤r, c'est-à-dire b-a≤0,01.
L'algorithme recherche donc un encadrement de α d'amplitude inférieure à 0,01 et donc plus précis, qui est ici 3,04375≤α≤3,05.



Téléchargements :

• BAC ES 2014 - annales des sujets inédits 2013-2014
• BAC L 2014 - annales des sujets inédits 2013-2014

[critor]

Intéressons-nous ce soir à l'algorithme qui vient de tomber ce mois de mars 2014 à l'épreuve de Mathématiques commune aux BAC 2013 STI2D et STL spécialité SPCL.

Il s'agissait donc de l'exercice 3 noté sur 5 points, dans le contexte des suites et de la radioactivité - un beau sujet à coloration transdisciplinaire... à priori

Ce sujet provient du site de l'APMEP, et j'ai corrigé ce que je pensais être quelques erreurs de retranscription ou lecture du document transmis - avec lesquelles le problème n'avait pas de sens.



Question 1)
Une baisse de 8,3% correspond à un coefficient multiplicateur de

$mathjax$1-\frac{8,3}{100}=1-0,083=0,917$mathjax$

.
Donc:
u₁=0,917×u₀=0,917×10⁶=97,202×10⁶
u₂=0,917×u₁=0,917×97,202×10⁶=89,123234×10⁶

Question 2)
On généralise:
u_n+1=0,917×u_n
Il s'agit donc d'une suite géométrique de premier terme u₀=10⁶ et de raison q=0,917.

Question 3)
Donc u_n=u₀×qⁿ=10⁶×0,917ⁿ.

Question 4)
Nous traduisons la question en une inéquation:

$mathjax$u_n≤\frac{10^6}{2}$mathjax$

$mathjax$10^6×0,917^n≤\frac{10^6}{2}$mathjax$

$mathjax$0,917^n≤\frac{\frac{10^6}{2}}{10^6}$mathjax$

$mathjax$\ln\left(0,917^n\right)≤\ln\left(\frac{10^6}{2×10^6}\right)$mathjax$

$mathjax$n×\ln(0,917)≤\ln\left(\frac{1}{2}\right)$mathjax$

$mathjax$n≥\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(0,917)}$mathjax$

car

$mathjax$\ln(0,917)<0$mathjax$

puisque 0<0,917<1
Or,

$mathjax$\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(0,917)}\approx 7,99959$mathjax$

d'après la calculatrice.
Donc,

$mathjax$n≥8$mathjax$

.
C'est-à-partir de 8 jours que la population de noyaux aura diminué au moins de moitié.

Question 5)a)
Cet algorithme est conçu autour d'une boucle 'tant que'.
Il utilise deux variables: u et n.
La variable u est initialisée à u₀=10⁶ et modifiée dans la boucle selon notre relation de récurrence de la question 2). La variable u représente donc le nombre de noyaux d'iode.
La variable n initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle est donc le rang associé à la valeur de la variable u.
La condition de poursuite de la boucle 'tant que' est

$mathjax$u>\frac{10^6}{2}$mathjax$

.
Cela veut donc dire que l'algorithme se termine en sortie de cette boucle sur la réalisation de la condition contraire:

$mathjax$u≤\frac{10^6}{2}$mathjax$

, c'est-à-dire lorsque la population de noyaux aura diminué au moins de moitié.
L'algorithme affichant alors n, il s'agit du temps de demi-vie dont parlait la question 4).

Question 5)b)
Si on avait compris la question précédente, la réponse était ici évidente : le programme affichera 8, résultat de la question 4).
Si l'on n'avait pas traité la question précédente, on pouvait programmer l'algorithme sur sa calculatrice et recopier la réponse. C'était aussi une possibilité de contrôle du résultat, que nous allons détailler maintenant.

Voici les programmes pour TI-76/82/83/84, TI-Nspire/89/92/Voyage, Casio Graph/Prizm, HP-39gII/Prime et Casio Classpad fx-CP.

Et ils nous confirment bien que la réponse est 8.

Question 5)c)
Je cite:

Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3%.
Quelles modifications faut-il apporter à l'algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137 sachant que la population au départ est de 10⁸ noyaux?

Alors là on touche le fond...
Visiblement, l'auteur du sujet a dans l'idée de nous faire apporter deux modifications à l'algorithme:

• remplacer le coefficient multiplicateur 0,917 par autre chose (voir plus loin)
• remplacer la valeur initiale 10⁶ par 10⁸

Or, la demi-vie d'un isotope radioactif est spécifique à cet isotope et ne dépend absolument pas de la taille de l'échantillon étudié.
On se moque complètement de savoir qu'il y a 10⁶ ou 10⁸ noyaux, information sur laquelle l'auteur insiste pourtant bien avec son "sachant que"... Reprenez votre programme en question 5)b) et remplacez les deux occurrences de 10⁶ par 3.14×10⁴², vous obtiendrez exactement le même résultat !
Nous avons donc en gros trois choix:

• nous comporter en élève bête qui veut son BAC : on écrit les bêtises que l'on pense que l'auteur du sujet attend sans rien dire
• nous comporter en élève intelligent doté d'esprit critique : on écrit ces mêmes bêtises mais en signalant que ça ne colle pas dans le style "la bonne réponse est [...] mais je pense que l'énoncé s'attend à [...]"
• nous comporter en élève pédant : on répond 'correctement' à ce problème bancal, au risque de ne pas avoir les points

C'est le deuxième choix que j'adopterai ici, car le but est quand même de décrocher le BAC. Je déconseille le troisième choix.

Le césium 137 diminue donc chaque année de 2,3%.
Le coefficient multiplicateur associé est donc

$mathjax$1-\frac{2,3}{100}=1-0,023=0,977$mathjax$

.

Voici donc l'algo modifié en fonction de ce que l'auteur attend:

Code: Select all

Variables:
   n et u sont des nombres
Initialisation:
   Affecter la valeur 0 à n
   Affecter la valeur 10^8 à u (**)
Traitement:
   Tant que u>10^8/2 (**)
      n prend la valeur n+1
      u prend la valeur u×0,977 (*)
   Fin tant que
Sortie:
   Afficher n

(*) ligne modifiée
(**) ligne modifiée inutilement, juste pour faire ce que l'auteur du sujet et sa correction attendent probablement...

Vous apportez les mêmes modifications au programme ci-dessus pour vérifier que votre algorithme est bon et obtiendrez cette fois-ci 30 jours.




Au final un exercice avec une idée originale et intéressante, exercice qui aurait pu être réussi et sortir positivement du lot... mais qui illustre parfaitement sur sa fin ce qu'un enseignant de Mathématiques ne doit pas faire lorsqu'il conçoit un problème.
Donner un contexte concret pour rendre un problème mathématique intéressant, c'est bien.
Mais pour que les élèves adhèrent complètement et aussi par honnêteté, c'est ce contexte qui doit amener le problème et non l'inverse... Sinon c'est une construction totalement artificielle et qui risque donc de devenir bancale, ce qui est le cas ici.
On a en effet l'impression que l'auteur est dans une démarche contraire: il est parti de ce qu'il voulait voir modifier dans l'algorithme pour se demander seulement ensuite quelle histoire il pouvait bien coller dessus, visiblement sans réflexion ou connaissance suffisamment approfondie sur le phénomène physique choisi.
Or, cette dernière question injecte dans l'esprit des candidats une représentation fausse du phénomène de radioactivité comme quoi la demi-vie radioactive dépendrait de la taille de l'échantillon initial...



Téléchargement :

• Annales BAC STI2D 2014 - sujets inédits 2013-2014
• Annales BAC STL 2014 - sujets inédits 2013-2014

[critor]

Hier, nous vous annoncions le 13^ème et dernier sujet de Maths du BAC S 2013: Nouvelle Calédonie, mars 2014, et vous conseillions de le regarder au plus tôt pour vos prochains DS ou BAC blanc, ou même révisions de BAC noir.

Après une correction spécifique de l'algorithme de l'exercice n°3 en fonction de votre calculatrice dans un article précédent, voici déjà pour vous ce soir la toute première correction complète du sujet !

De quoi vous préparer à être au point sur ce dernier sujet dès cette semaine si vous êtes déjà rentrés et si on vous en pose des exercices !
Mais retenez bien que la lecture du corrigé ne sera que plus efficace si vous avez auparavant fait ou du moins cherché le sujet.


N'hésitez pas à signaler les éventuelles erreurs ou typo.


Téléchargement : BAC S 2014 - Sujets inédits 2013-2014

[critor]

Voici déjà ce soir la correction de l'algorithme tombé dans le 13^ème et dernier sujet de Maths du BAC S 2013: Nouvelle Calédonie, mars 2014.


L'exercice n°3 concerné sur 5 points et donc à traiter en un maximum d'1 heure, commençait par une petite étude de fonction en partie A:


On retiendra juste de cette partie pour la suite que la fonction f est strictement croissante sur ]e^-1;+∞[.

Et voici donc la partie B avec l'algorithme, sur la méthode des rectangles pour l'approximation d'une intégrale:



Question B)1)a)
On sait que l'algorithme est destiné à estimer l'intégrale par la méthode des rectangles.
En partant de l'initialisation U=V=0, à chaque itération U est incrémenté de

$mathjax$\frac{1}{n}f\left(1+\frac{k}{n}\right)$mathjax$

et V est incrémenté de

$mathjax$\frac{1}{n}f\left(1+\frac{k+1}{n}\right)$mathjax$

.
Or, comme e^-1≤1, f est strictement croissante sur [1;2].

$mathjax$f\left(1+\frac{k}{n}\right)≤f\left(1+\frac{k+1}{n}\right)$mathjax$

et donc

$mathjax$\frac{1}{n}f\left(1+\frac{k}{n}\right)≤\frac{1}{n}f\left(1+\frac{k+1}{n}\right)$mathjax$

.
Ce qui implique à tout moment dans l'algorithme l'invariant U≤V.

U représente donc l'approximation de l'intégrale par les rectangles inférieurs, soit l'aire des rectangles hachurés deux fois.
V représente donc l'approximation de l'intégrale par les rectangles supérieurs, soit l'aire de tous les rectangles hachurés.


Question B)1)b)
Si l'on a parfaitement compris ce que faisait l'algorithme à la question précédente, la réponse est ici simple au sens où il suffit de faire un simple calcul que l'on retrouve si besoin en observant le graphe donné avec l'énoncé:

$mathjax$U=\frac{1}{4}\left(f(1)+f\left(\frac{5}{4}\right)+f\left(\frac{3}{2}\right)+f\left(\frac{7}{4}\right)\right)\approx0,4666$mathjax$

$mathjax$V=\frac{1}{4}\left(f\left(\frac{5}{4}\right)+f\left(\frac{3}{2}\right)+f\left(\frac{7}{4}\right)+f(2)\right)\approx0,8132$mathjax$

Si l'on n'a pas ces résultats ou si l'on en doute, il va donc falloir exécuter l'algorithme.
Notons que cet algorithme utilise une fonction f qu'il ne définit pas.

Lors de la traduction en un programme pour calculatrice graphique, il va falloir en tenir compte, et:

• soit remplacer toutes les occurrences de f par l'expression associée
• soit définir la fonction dans l'application de la calculatrice dédiée à cette tâche avant de lancer le programme
• soit définir la fonction au sein du programme

Nous nous intéresserons ici à ce dernier cas, et rajouterons donc aux initialisations la définition de cette fonction f.

Pour définir une fonction dans un programme sur TI-76/82/83/84, nous allons utiliser l'instruction String>Equ( que l'on peut aller chercher dans la catalogue:
Nous y définirons Y₁ en fonction de X. Mais le langage de programmation étant procédural et non fonctionnel, pour chaque calcul d'image il faudra donc affecter X avant d'évaluer Y₁:

L'on confirme bien les résultats précédents.

Sur Casio Graph/fx-CG, l'utilisation d'une fonction définie dans le programme est assez similaire.

Sur Casio Classpad/fx-CP (ci-contre), nous avons vraiment la notion de fonction dans un programme, et la définition et l'utilisation n'en sont que bien plus naturelles.
Nous préciserons toutefois en début de programme que l'on souhaite travailler en écriture décimale avec 'SetDecimal'. Sans cela, la calculatrice utilisera le dernier mode de l'évaluateur de programmes, et affichera possiblement des valeurs exactes que l'on ne demande pas ici.

Mêmes compliments pour le langage de programmation fonctionnel de la TI-Nspire/89/92/Voyage.
Ici, nous devons effectuer le lancement du programme en validant avec sur les modèles formels, afin de bien obtenir des affichages en écriture décimale et non exacte:


Sur HP-39gII/Prime, il existe au moins trois façons de définir une fonction dans un programme. La plus simple, qui de plus a l'avantage de marcher sur les deux modèles me semble toutefois être la suivante:



Question B)1)c)
f(1)=1ln(1)=1×0=0
Or, f est strictement croissante sur [1;2] d'après B)1)a).
Donc, pour tout

$mathjax$x\in[1;2]$mathjax$

, f(x)≥f(1) soit f(x)≥0.
Dans ces conditions,

$mathjax$A=\int_1^2f(x)dx$mathjax$

.
L'encadrement de l'intégrale par la méthode des rectangles est donc aussi un encadrement de l'aire.
0,4666≤A≤0,8132


Voici maintenant la suite de l'exercice:


Question B)2)a)

$mathjax$\begin{align*}V_n-U_n&=\frac{1}{n}\left(f\left(1+\frac{1}{n}\right)+f\left(1+\frac{2}{n}\right)+...+f\left(1+\frac{n-1}{n}\right)+f(2)\right)-\frac{1}{n}\left(f(1)+f\left(1+\frac{1}{n}\right)+f\left(1+\frac{2}{n}\right)+...+f\left(1+\frac{n-1}{n}\right)\right)\\
&=\frac{1}{n}\left(f\left(1+\frac{1}{n}\right)+f\left(1+\frac{2}{n}\right)+...+f\left(1+\frac{n-1}{n}\right)+f(2)-f(1)-f\left(1+\frac{1}{n}\right)-f\left(1+\frac{2}{n}\right)-...-f\left(1+\frac{n-1}{n}\right)\right)\\
&=\frac{1}{n}\left(f(2)-f(1)\right)\\
&=\frac{1}{n}\left(2\ln(2)-1\ln(1)\right)\\
&=\frac{1}{n}\left(2\ln(2)-1×0\right)\\
&=\frac{1}{n}\left(2\ln(2)-0\right)\\
&=\frac{1}{n}\left(2\ln(2)\right)\\
&=\frac{2\ln(2)}{n}\end{align*}$mathjax$

Donc:

$mathjax$V_n-U_n<0,1\Leftrightarrow\frac{2\ln(2)}{n}<0,1\Leftrightarrow2\ln(2)<0,1n$mathjax$

car n≥0

$mathjax$\Leftrightarrow\frac{2\ln(2)}{0,1}<n\Leftrightarrow n>\frac{2\ln(2)}{0,1}$mathjax$

Or,

$mathjax$\frac{2\ln(2)}{0,1}\approx 13,9$mathjax$

d'après la calculatrice.
Donc n≥14.
Le plus petit entier n vérifiant la propriété est donc 14.


Question B)2)b)
Voici une modification possible de l'algorithme:
La boucle 'pour' permettant de calculer l'encadrement, pour rechercher un encadrement avec V-U<0,1, nous allons la répéter tant que cette condition n'est pas satisfaite (V-U≥0,1).
A chaque itération de cette boucle tant que, on incrémente donc n et réinitialise les variables U et V pour pouvoir faire le calcul.
Plus rien n'étant connu sur n, on l'initialise à 0.
Nous initialiserons de plus V à 1, astuce pour garantir que l'on passe au moins une fois dans la boucle tant que suivante (car V-U=1-0=1≥0,1).

Code: Select all

Variables
   k et n sont des entiers naturels
   U, V sont des nombres réels
Initialisation
   U prend la valeur 0
   V prend la valeur 1 (*)
   n prend la valeur 0 (*)
Traitement
   [color=red]Tant que V-U≥0,1
      U prend la valeur 0 (*)
      V prend la valeur 0 (*)
      n prend la valeur n+1 (*)
      Pour k allant de 0 à n-1
         Affecter à U la valeur 
         Affecter à V la valeur 
      Fin pour
   Fin tant que (*)
Affichage
   Afficher U
   Afficher V

(*) lignes modifiées

Ce n'était pas demandé, mais pour savoir si notre algorithme modifié faisait bien ce que l'on voulait, il était bienvenu de le programmer sur la calculatrice encore une fois. De plus, cela pourra permettre de vérifier la cohérence des résultats en fin d'exercice.
On va même en profiter pour rajouter l'affichage de N en fin de programme.

Voici donc des programmes pour TI-76/82/83/84, TI-Nspire/89/92/Voyage, Casio Graph/fx-CG, HP-39gII/Prime et Casio Classpad/fx-CP:


Les programmes se terminent sur calculatrice pour n=14 en fournissant 0,5870≤A≤0,6861, qui est bien une restriction de l'encadrement en B)1)c) d'amplitude inférieure à 0,1.



L'exercice n'est pas tout-à-fait terminé, mais pour les algorithmes, c'est bien fini.
Par rapport aux 'amusements' que nous avions habituellement sur les suites au BAC, c'est donc un algorithme bien plus difficile, surtout si on devait le programmer sur calculatrice, avec cette utilisation d'une fonction dans un programme, cas possiblement jamais rencontré auparavant. Merci d'ailleurs à Planete-Casio à ce sujet.
Si la programmation sur calculatrice pouvait facilement être évitée pour la première question d'algorithme où l'on pouvait aisément répondre autrement, c'était beaucoup moins le cas pour la deuxième question d'algorithme...
Au final, un exercice que je juge difficile de ce point de vue.



Téléchargement : Annales BAC S 2014 - sujets inédits 2013-2014

[critor]

Suite à l'organisation ce mois-ci de la session de remplacement du BAC en Nouvelle Calédonie pour les candidats absents à des épreuves en novembre dernier, nous vous présentions dans deux articles précédents les 13^ème et 14^ème sujets S de Mathématiques et de Physique-Chimie pour la session 2013.

Voici donc également aujourd'hui le 14ème et dernier sujet de Maths ES, avec:

• Exercice 1 : probabilités conditionnelles + lois binomiales (5 points)
• Exercice 2 : suites + suites géométriques + pourcentages (5 points)
• Exercice 2 Spécialité: suites + matrices + graphes probabilistes (5 points)
• Exercice 3 : fonctions + logarithmes + primitives + intégrales + loi uniforme + interfalle de fluctuation + Vrai/Faux à justifier (4 points)
• Exercice 4 : fonctions + exponentielles + dérivée seconde + valeurs intermédiaires + algorithme (6 points)

Pas vraiment de surprise. Comme 13 des 15 sujets de la session 2013 soit 87%, on retrouve bien un algorithme.


Bref, sujet à regarder au plus tôt pour les prochains DS ou BAC blanc, et même pour commencer à réviser le BAC noir !



Téléchargements :

• Annales sujets inédits BAC ES 2013-2014
• Annales sujets inédits BAC ES 2012-2013