[critor]

Suite à l'organisation ce mois-ci de la session de remplacement du BAC S en Nouvelle Calédonie pour les candidats absents à des épreuves en novembre dernier, nous vous présentions dans un article précédent le 14ème et dernier sujet de Physique-Chimie pour la session 2013.

Et voici donc également aujourd'hui le 13ème et dernier sujet de Maths, avec:

• Exercice 1 : QCM + complexes + suites (4 points)
• Exercice 2 : ROC + loi normale + probabilités conditionnelles + loi binomiale (6 points)
• Exercice 3 : fonctions + logarithmes + intégrales + algorithme + suites (5 points)
• Exercice 4 : géométrie dans l'espace (5 points)

L'algorithme porte ici sur les suites et l'approximation des intégrales par la méthode des rectangles.
Sur les 13 sujets de maths de la session 2013 qui a inauguré le nouveau programme, 12 ont donc comporté des algorithmes, soit 92% des sujets, et sa réapparition encore une fois n'est donc pas une surprise.

Par contre, nous nous interrogeons sur la ROC. Suite à la mise en place du nouveau programme, la ROC avait quasiment disparu avec jusqu'à présent 1 seul sujet sur 12 en comportant. La part de sujets avec ROCs était donc passée brutalement de plus de 60% pour les sessions précédentes de 2005 à 2012, à un ridicule petit 8% pour la session 2013.

Certes, cela ne change pas vraiment le rapport de force pour le moment, la part de sujets avec ROC avec 2 sur 13 passant simplement à 17%.
Mais ce qui est particulier dans ce sujet, contrairement à l' unique ROC précédente à la session 2013, banalement sur la géométrie dans l'espace, c'est que cette deuxième ROC interroge spécifiquement sur une partie introduite par le nouveau programme, la loi normale !

Nous ne savons donc pas vraiment quoi en penser, car en tant que telle, cette nouvelle ROC a bien dû faire l'objet d'un travail spécifique.

• Soit ces 17% de ROC sont issus de concepteurs de sujets qui étaient encore un peu dans l'esprit de l'ancien programme, et dans ce cas les chances d'en avoir à la session 2014 resteraient faibles...
• Soit, suite au changement de programme pour la session 2013, il fallait simplement du temps avant que des ROCs conformes au nouveau programme ne soient conçues et validées. Dans cette éventualité, la ROC ferait donc son grand retour à la session 2014 du BAC S après avoir sauté une session. Mais dans ce cas, avec uniquement 2 ROCs conformes à ce jour, ça ne va pas faire lourd pour réviser...

Mais ce qui est sûr, c'est que nous pourrons très certainement vous en dire plus d'ici juin 2014, car nous attendons pas moins de 5 sujets de maths qui commencent à tomber dans les centres d'examens français à l'étranger dès le mois d'avril prochain!
Alors à très bientôt !


Bref, sujet à regarder au plus tôt pour les prochains DS ou BAC blanc !



Téléchargements :

• Annales sujets inédits BAC S 2013-2014
• Annales sujets inédits BAC S 2012-2013

[critor]

En Nouvelle Calédonie est en ce moment organisée la session remplacement du BAC S pour les candidats qui n'ont pu, pour un motif légitime, être présents à tout ou partie des épreuves de la session terminale en novembre 2013.
C'est donc l'équivalent des épreuves de la session dite "de septembre" en France métropolitaine, le calendrier inversé étant simplement dû au changement d'hémisphère et donc à l'inversion des saisons.

Voici donc, en spécialité uniquement pour le moment, le tout dernier sujet de Physique Chimie de la session 2013 du BAC S:

• Exercice 1 : Les fourmis détiennent-elles le carburant du futur ? (5 points)
• Exercice 2 : Laser et stockage optique (10 points)
• Exercice 3 Spécialité : Autour des nanotubes de carbone (5 points)

Un sujet à regarder dès maintenant si vous avez des DS ou BAC blanc prochainement... et même si ce n'est pas le cas, ça ne fait pas de mal non plus !


Téléchargement : BAC S 2013-2014: Annales des sujets inédits

Source : Labolycée

[critor]

Intéressons-nous ce soir à l'algorithme tombé en novembre 2013 à l'épreuve de mathématiques du BAC S en Nouvelle Calédonie.


On nous demande donc de réaliser une sorte de trace simplifiée de l'algorithme, avec les états des variables lors d'étapes importantes.

C'est certes réalisable en papier-crayon en déroulant les instructions une par une mentalement, mais également à la calculatrice graphique, méthode que nous allons détailler ici.



Il suffit en effet de rajouter quelques instructions d'affichages bien placées afin d'obtenir le tableau demandé en plus du résultat.

L'algorithme s'articule donc autour d'une boucle tant que, et le corps de la boucle devra donc accueillir une instruction d'affichage de l'état des variables.
La seule question restant en suspens est de savoir où placer cet affichage, en début de boucle ou en fin de boucle?

Comme N est initialisé à 2, K à 0 et incrémenté de 1 dans la boucle, et que de plus la condition de poursuite de la boucle est K<N, nous ne rentrerons que deux fois dans celle-ci:

• une première fois avec K=0
• une deuxième fois avec K=1

Mais notons que l'énoncé nous demande non pas 2 étapes, mais 3 étapes.
Il faudra donc un affichage supplémentaire, soit avant la boucle, soit après la boucle.
Deux possibilités s'offrent donc à nous pour obtenir 3 affichages différents:

• affichage de l'état des variables avant la boucle, suivi d'un affichage en fin de boucle (effectué deux fois)
• affichage de l'état des variables en début de boucle (exécuté deux fois), suivi d'un affichage des variables après la boucle

Notons qu'ici, le modèle de tableau fourni grise la variable W (car non encore initialisée) pour le premier état. C'est donc celui-ci qui doit faire l'objet d'un traitement spécifique, et nous retenons donc le premier choix.
Voici l'algorithme modifié pour nous produire le tableau à recopier:

Code: Select all

Variables:
   N est un entier
   U,V,W sont des réels
   K est un entier
Début:
   Affecter 0 à K
   Affecter 2 à U
   Affecter 10 à V
   Saisir N
   Afficher N,U,V   (*)
   Tant que K<N
      Affecter K+1 à K
      Affecter U à W
      Affecter (2U+V)/3 à U
      Affecter (W+3V)/4 à V
      Afficher N,W,U,V   (*)
   Fin tant que
   Afficher U
   Afficher V
Fin

(*) instructions rajoutées

Il nous suffit donc maintenant de programmer cet algorithme sur notre calculatrice graphique.
Notons que vu que les affectations effectuées dans la boucle sur U et V utilisent des divisions, il faudra selon le modèle préciser que l'on veut bien un résultat exact (fractionnaire ici) et non une écriture décimale approchée.


Voici donc un programme traduisant cet algorithme pour TI-76/82/83/84:

L'on précise simplement en prime à la calculatrice que nous souhaitons obtenir notre affichage dans la boucle en écriture fractionnaire si possible.

D'où la solution:

K	W	U	V
0		2	10
1	2	14/3	8
2	14/3	52/9	43/6

Occupons-nous maintenant des autres modèles de calculatrices.

Si vous disposez d'une TI-Nspire/89/92/V200 ou d'une Casio Graph/fx-CG, le programme équivalent ne nécessite rien de particulier et ne pose donc pas de problème:

Sur Casio, chaque affichage de liste suspend l'exécution du programme. L'on peut à ce moment-là naviguer entre les éléments de la liste et en obtenir l'affichage fractionnaire à l'aide de la touche [F<->D].

Sur HP-Prime, c'est beaucoup plus complexe pour obtenir les formes exactes.
D'une part, il faut spécifier l'utilisation du moteur CAS pour chaque affectation risquant de faire des erreurs d'approximations dans la boucle.
D'autre part, les résultats qu'il fournit sont des expressions et ne peuvent être enregistrés dans les variables numériques usuelles à un caractère. Il faut donc déclarer et utiliser des variables à plusieurs caractères. Nous renommerons donc U en UU, V en VV et W en WW.

Et enfin ci-contre sur Casio Classpad/fx-CP.
Il suffit juste de préciser en début de programme que l'on souhaite des résultats exacts si possible, avec 'SetStandard'. En l'absence de cette instruction, c'est le mode courant de l'évaluateur de programmes qui est utilisé, mode dont on ne connaît donc pas l'état à priori.

Téléchargement : BAC S 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014

[critor]

Aujourd'hui, intéressons-nous à l'exercice d'algorithme et de feuille de calculs est tombé dans le contexte de suites en Nouvelle Calédonie en novembre 2013 à l'épreuve de mathématiques commune aux BAC STI2D et STL spécialité SPCL:



Question A)1)
On souhaite donc obtenir sur une feuille de calculs un tableau de valeur de la suite (u_n).
Parmi les 4 propositions, on peut déjà éliminer la formule a), qui est la même que d) mais non écrite correctement pour un tableur avec utilisation de la variable n au lieu de la cellule C1.

Pour la formule b) $B$2 correspondrait toujours à u₀, et elle code donc la relation u_n=0,4u₀+3.
u_n ne dépendrait donc pas de n et la suite (u_n) serait constante, ce qui est trivialement faux selon le tableau de valeurs fourni.

Resteraient les formules c) et d), C2:=B2*0,4+3 et C2:=0,4^C1+3, qui se traduisent algébriquement par u_n+1=0,4u_n+3 et u_n+1=0,4ⁿ+3.
d) est donc une formule générale explicite, tandis que c) est une relation de récurrence, identique à la définition de l'énoncé.
C'est donc cette dernière que nous choisissons: réponse c).


Il était aussi possible de réaliser la feuille de calculs sur sa calculatrice graphique et d'y tester les formules une par une.

En effet les TI-Nspire, Casio Graph 75/85/95/fx-CG, HP-39gII/Prime et Casio Classpad/fx-CP disposent d'une application tableur, qui nous confirme que seule le formule c) génère le même tableur de valeurs:

Remarque: Les Casio Graph 25+Pro et Graph 35+USB ne disposent pas d'une telle application. Mais il est toutefois possible d'installer le système Graph 75/85/95 sur une Graph 35+USB et donc d'y disposer de l'application tableur.

Sur les TI-82+/83+/84 monochromes, une application tableur dénommée 'CellSheet' est normalement intégrée, si vous ne l'avez pas effacée vous-même en réinitialisant par exemple la calculatrice.
A défaut, il vous suffira de la réinstaller.
Remarque: Il n'existe hélas pas d'application équivalent pour TI-76.fr/82Stats, ni pour la nouvelle TI-84 Plus C couleur à ce jour. Une application officielle était censée sortir à la rentrée pour cette dernière, mais hélas a déjà pris pas mal de retard et a été repoussée deux fois.


Question A)2)
On peut conjecturer que la suite tend vers 5, par valeurs inférieures.

$mathjax$\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=5^-$mathjax$

Question A)3)
On nous suggère donc pour construire l'algorithme d'utiliser le tableau de valeurs, c'est-à-dire de comprendre ce qu'il fait. Cet algorithme s'articule donc autour d'une boucle tant que.
Dans cet algorithme, la variable u contient la valeur d'un terme de la suite (u_n), puisque initialisée à u₀=-1 et modifiée dans la boucle selon la relation de récurrence.
La variable n quant à elle représente le rang, puisque initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle tant que.
L'algorithme s'arrête en renvoyant la valeur de n sur sortie de la boucle tant que, soit sur la réalisation du contraire de la condition de poursuite |u-5|>10^-p, c'est-à-dire |u-5|≤10^-p.
En sachant de plus que p=2, cela nous donne un arrêt sur |u-5|≤10^-2.
cela se traduit algébriquement par:
|u_n-5|≤10^-2
-(u_n-5)≤10^-2 car nous avons conjecturé u_n-5<0 dans notre contexte
5-u_n≤10^-2
5-10^-2≤u_n
5-0,01≤u_n
4,99≤u_n
u_n≥4,99
Une recherche de cette condition dans le tableau de valeurs fourni nous donne donc n=7.

Il était également possible de ne rien avoir à comprendre de l'algorithme et de se contenter de le programmer sur sa calculatrice graphique afin de lui demander la réponse.
Voici des programmes traduisant cet algorithme et confirmant ce résultat pour TI-76/82/83/84, TI-Nspire/89/92/V200, Casio Graph/fx-CG, HP-39gII/Prime et Casio Classpad/fx-CP:

Question B)1)
(v_n) est une suite géométrique de premier terme v₀=6 et de raison q=0,4.

Question B)2)
Comme

$mathjax$-1<0,4<1, \lim\limits_{n\to+\infty}(0,4)^n$mathjax$

$mathjax$=0$mathjax$

Donc

$mathjax$\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=\lim\limits_{n\to+\infty}6\times(0,4)^n$mathjax$

$mathjax$=6\times\lim\limits_{n\to+\infty}(0,4)^n$mathjax$

$mathjax$=6\times0$mathjax$

$mathjax$=0$mathjax$

Question B)3)

$mathjax$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}5-v_n$mathjax$

$mathjax$=5-\lim\limits_{n\to+\infty}v_n$mathjax$

$mathjax$=5-0$mathjax$

$mathjax$=5$mathjax$

Question B)4)a)

$mathjax$(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$mathjax$

étant une suite géométrique,

$mathjax$v_0+v_1+\dots+v_n=v_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$mathjax$

$mathjax$=6×\frac{1-(0,4)^{n+1}}{1-0,4}$mathjax$

$mathjax$=6×\frac{1-(0,4)^{n+1}}{0,6}$mathjax$

$mathjax$=\frac{6}{0,6}\left(1-(0,4)^{n+1}\right)$mathjax$

$mathjax$=10\left(1-(0,4)^{n+1}\right)$mathjax$

Question B)4)b)

$mathjax$u_0+u_1+\dots+u_n=(5-v_0)+(5-v_1)+\dots+(5-v_n)$mathjax$

$mathjax$=(5+5+\dots+5)-(v_0+v_1+\dots+v_n)$mathjax$

$mathjax$=5n-10\left(1-(0,4)^{n+1}\right)$mathjax$

Téléchargements :

• BAC STI2D 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014
• BAC STL 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014

[critor]

Intéressons-nous ce soir à l'algorithme qui est tombé en France en septembre 2013 au BAC STL spécialité biotechnologies, un algorithme sur les suites géométriques:



Question 1)a)
Chaque année, le salaire de Monsieur Durand augmente de 1,7%.
Le coefficient multiplicateur associé est alors 1+

$mathjax$\frac{1,7}{100}$mathjax$

=1,017.
Donc: a_n+1=a_n×1,017.
Notons que (a_n) est une suite géométrique de raison 1,017.


Question 1)b)
De plus, le salaire initial en 2012 étant de 1300€, on a a₀=1300.
Donc: a_n=a₀×1,017ⁿ=1300×1,017ⁿ.


Question 2)
Chaque année, le salaire de Madame Martin augmente de 2,3%.
Le coefficient multiplicateur associé est alors 1+

$mathjax$\frac{2,3}{100}$mathjax$

=1,023.
Donc: b_n+1=b_n×1,023.
Notons que (b_n) est une suite géométrique de raison 1,023.
De plus, le salaire initial en 2012 étant de 1150€, on a b₀=1150.
Donc: b_n=b₀×1,023ⁿ=1150×1,023ⁿ.


Question 3)a)
Il est possible de faire fonctionner l'algorithme sans calculatrice en réalisant une trace.
Il s'agit d'un tableau donnant l'état de toutes les variables utilisées par l'algorithme, à chaque exécution d'une nouvelle instruction.

Instruction exécutée	B	N	Affichage
B prend la valeur 1300	1300
N prend la valeur 0	1300	0
Remplacer N par N+1	1300	1
Remplacer B par B×1,017	1322,1	1
Remplacer N par N+1	1322,1	2
Remplacer B par B×1,017	1344,57	2
Remplacer N par N+1	1344,57	3
Remplacer B par B×1,017	1367,43	3
Remplacer N par N+1	1367,43	4
Remplacer B par B×1,017	1390,68	4
Remplacer N par N+1	1390,68	5
Remplacer B par B×1,017	1414,32	5
Afficher N+2012	1414,32	5	2017

Le résultat fourni par l'algorithme est donc 2017.

Cette justification par trace n'étant toutefois pas demandée ici, on peut aussi programmer cet algorithme sur notre calculatrice graphique et lui demander le résultat.

Voici par exemple les programmes pour TI-Nspire/89/92/V200 et TI-82/83/84 qui nous confirment le même résultat:


La même chose est réalisable si vous êtes doté d'une autre calculatrice. Voici par exemple les programmes équivalents pour Casio Graph/fx-CG et HP-39gII/Prime:

Ou encore ci-contre, la version pour Casio Classpad/fx-CP.


Question 3)b)
La valeur affichée N+2012 représente une année.
Or l'algorithme se termine sur sortie de la boucle tant que, c'est-à-dire sur la réalisation du contraire de sa condition de poursuite B≤1400, ce qui donne ici B>1400.
Il s'agit donc de l'année où le salaire de Monsieur Durand dépasse 1400€.


Question 4)a)
Pour l'année où le salaire de Madame Martin dépasse 1500€, il nous suffit de modifier l'algorithme précédent de la façon suivante, puisqu'il s'agit du même type de question:

• remplacer le salaire initial de 1300 par 1150
• remplacer le salaire recherché de 1400 par 1500
• raplacer le coefficient multiplicateur de 1,017 par 1,023

Ce qui nous donne:

Code: Select all

B prend la valeur 1150
N prend la valeur 0
Tant que B≤1500
   Remplacer N par N+1
   Remplacer B par B×1,023
Fin Tant que
Afficher N+2012

Question 4)b)

La réalisation d'une trace de l'algorithme précédent ou les mêmes modifications apportées à nos programmes nous fournissent l'année 2024.

Ce résultat est aussi trouvable algébriquement, méthode que l'on pouvait notamment utiliser si l'on n'arrivait pas à répondre à la question précédente:
b_n>1500
1150×1,023ⁿ>1500
1,023ⁿ>

$mathjax$\frac{1500}{1150}$mathjax$

1,023ⁿ>

$mathjax$\frac{30}{23}$mathjax$

$mathjax$\ln\left(1,023^n\right)>\ln\left(\frac{30}{23}\right)$mathjax$

$mathjax$n\times\ln(1,023)>\ln\left(\frac{30}{23}\right)$mathjax$

$mathjax$n>\frac{\ln\left(\frac{30}{23}\right)}{\ln(1,023)}$mathjax$

car ln(1,023)>0
Or,

$mathjax$\frac{\ln\left(\frac{30}{23}\right)}{\ln(1,023)}$mathjax$

≈11,7.
Donc n≥12.
Ce qui confirme bien que le salaire de Madame Martin dépasse 1500€ en 2012+12=2024.


Question 5)
b_n>a_n
1150×1,023ⁿ>1300×1,017ⁿ

$mathjax$\frac{1,023^n}{1,017^n}>\frac{1300}{1150}$mathjax$

$mathjax$\left(\frac{1,023}{1,017}\right)^n>\frac{26}{23}$mathjax$

$mathjax$\ln\left(\left(\frac{1,023}{1,017}\right)^n\right)>\frac{26}{23}$mathjax$

$mathjax$n\times\ln\left(\frac{1,023}{1,017}\right)>\ln(\frac{26}{23})$mathjax$

$mathjax$n>\frac{\ln\left(\frac{26}{23}\right)}{\ln\left(\frac{1,023}{1,017}\right)}$mathjax$

car

$mathjax$\ln\left(\frac{1,023}{1,017}\right)>0$mathjax$

Or,

$mathjax$\frac{\ln\left(\frac{26}{23}\right)}{\ln\left(\frac{1,023}{1,017}\right)}\approx 20,8$mathjax$

Donc n≥21.
C'est donc en 2012+21=2033 que le salaire de Madame Martin dépassera celui de Monsieur Durand.


Téléchargement : BAC STL 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014