[critor]

Bonsoir,


Aujourd'hui nous allons regarder l'algorithme qui est tombé à l'épreuve de Mathématiques commune aux BAC STI2D et STL spécialité SPCL en Antilles-Guyane en juin 2013.

Ce sera particulièrement utile dans l'immédiat à ceux qui passent leur épreuve ce jeudi.

L'algorithme est donc tombé dans le contexte d'un exercice de suites:

Question 1)
On nous demande donc ce qu'affiche l'algorithme.

Il est possible de répondre à cette question à la main sans aucun usage de la calculatrice, en réalisant simplement ce que l'on appelle une trace de l'algorithme, c'est-à-dire un tableau de l'état mémoire des variables pour chaque instruction exécutée.
Par exemple pour n=1, on ontient 3:

Instruction	n	u	i
Saisir n	2
Affecter 2 à u	2	2
Pour i=1	2	2	1
Affecter 1,5u à u	2	3	1
Pour i=2	2	3	2

Une deuxième solution pour ceux qui ne sont pas à l'aise avec la méthode ci-dessus ou la trouvent trop longue, est de traduire l'algorithme fourni en un programme pour notre calculatrice graphique, puis de l'exécuter.
Voici par exemple le programme pour TI-76/82/83/84, qui répond 3, 4.5 et 6.75 respectivement pour n=1, 2 et 3:

Voici également pour ceux qui ne disposent pas de ces modèles, les programmes équivalents pour TI-Nspire, Casio Graph/Prizm/fx-CG, HP-39gII/Prime et Casio Classpad/fx-CP:

Une troisième solution était de deviner que l'algorithme calcule les termes d'une suite u définie par u₀=2 et u_n+1=1,5u_n. Pour ceux qui ne le voient pas par simple lecture de l'algorithme, on peut indiquer que c'est comme par hasard la suite définie dans le question 2), et au BAC dans les exercices en Maths les questions s'enchaînent. Le premier réflexe à avoir en cas d'hésitation est de relire la question précédente et regarder la question suivante.
On pouvait alors soit calculer les termes u₁, u₂ et u₃ de cette suite manuellement, ou alors faire confiance à l'application suites de notre calculatrice graphique et lui demander un tableau de valeurs.
A part qu'elles doivent s'appeller a, b ou c, les suites récurrentes se saisissent presque naturellement sur Casio Classpad/fx-CP et Casio Graph/Prizm/fx-CG, à part que sur ces dernières il ne faut surtout pas oublier d'aller définir les rang et termes initiaux dans un écran à part:

Sur les TI-Nspire et TI-76/82/83/84, il n'est pas possible de définir le terme de rang n+1 mais uniquement celui de rang n. Nous devons donc remplacer toutes les occurrences de n par (n-1). N'oublions pas également de bien régler le rang de départ à 0, car il est à 1 par défaut:

Sur HP-39gII/Prime, en plus de la manipulation précédente il y a un défaut, l'application interdisant de faire démarrer les suites au rang 0. Ce n'est pas un bug du à la jeunesse des HP-Prime, puisqu'il est déjà présent sur la calculatrice de même génération HP-39gII sortie l'année dernière. Je m'étonne donc fortement qu'il n'ait pas été corrigé en un an, car c'est extrêmement problématique pour l'enseignement secondaire français où les suites sont omniprésentes, et commencent la plupart du temps au rang 0.

Mais au lieu de râler stérilement, tentons de nous en sortir pour ceux d'entre vous qui ont fait le choix de ces calculatrices. Une première solution sale mais simple est de ne rien effectuer de spécial, faisant ainsi démarrer la suite au rang 1. Toutes les valeurs auront donc un rang de retard et il faudra s'en souvenir pour toute reprise de résultat:

Il faudrait donc comprendre ici que u₁=3, u₂=4.5 et u₃=6.75, même si la calculatrice affiche de façon paradoxale u₁=2, u₂=3, u₃=4.5 et u₄=6.75.
Ce décalage d'un rang est en apparence fort simple à corriger pour cette seule question, mais il pourra vous jouer de vilains tours après plusieurs questions où vous aurez tendance à l'oublier, ou pire dans un exercice faisant intervenir plusieurs suites.
Une deuxième solution moins immédiate mais beaucoup plus propre et sûre, est de définir la suite avec la bonne valeur u₁=3, et il n'y aura plus à se méfier par la suite:

Il y a par la suite une deuxième question d'algorithmique:

Question 3)b)
On ne souhaite donc plus calculer les termes de la suite, mais leur somme. Il suffit pour cela de disposer d'une variable pour la somme, et d'y rajouter les termes calculés dans la boucle au fur et à mesure:

Code: Select all

Entrée:
   Saisir la valeur de l'entier naturel n
Traitement:
   Affecter 2 à la variable u
   Affecter u à la variable s
   Pour i variant de 1 à n
      Affecter 1,5u à u
      Affecter s+u à s
   Fin de Pour
Sortie:
   Afficher s

On peut vérifier notre algorithme en le programmant à la calculatrice, et en vérifiant que pour n=1, n=2 et n=3, on obtient bien respectivement 2+3=5, 2+3+4.5=9.5 et 2+3+4.5+6.75=16.25.
Voici les programmes traduisant cet algorithme pour nos calculatrices TI-76/82/83/84, TI-Nspire, Casio Graph/Prizm/fx-CG, HP-39gII/Prime et Casio Classpad/fx-CP:

Bonne chance!

Téléchargements:
BAC STI2D 2013 - sujets 2012-2013 toutes matières et toutes zones + corrigés
BAC STL 2013 - sujets 2012-2013 toutes matières et toutes zones + corrigés

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Nos annales du BAC Technologique 2012-2013 viennent d'être mises à jour avec les derniers sujets tombés en Polynésie la semaine dernière, quelques sujets qui nous avaient échappé, ainsi que de nouveaux corrigés.

Les nouveaux sujets rajoutés sont:

• BAC 2013 ST2S: Mathématiques (Polynésie - septembre 2013)
• BAC 2013 STG spécialité CGRH: Mathématiques (Polynésie - septembre 2013)
• BAC 2013 STL spécialité Bio: Mathématiques (Antilles-Guyane - juin 2013)
• BAC 2013 STI2D & STL spécialité SPCL: Mathématiques (Antilles-Guyane - septembre 2012)
• BAC 2013 Technologiques: LV1 Allemand (France - juin 2013)
• BAC 2013 Technologiques: LV1 Anglais (France - juin 2013)
• BAC 2013 Technologiques: LV1 Espagnol (France - juin 2013)
• BAC 2013 Technologiques: LV1 Italien (France - juin 2013)

D'excellents supports de révisions conformes aux nouvelles épreuves 2013, qui serviront je l'espère à ceux qui passent le BAC cette semaine.


Téléchargements:
BAC STI2D 2013: sujets 2012-2013 toutes matières & toutes zones + corrections
BAC STL 2013: sujets 2012-2013 toutes matières & toutes zones + corrections
BAC STG 2013: sujets 2012-2013 toutes matières & toutes zones + corrections
BAC ST2S 2013: sujets 2012-2013 toutes matières & toutes zones + corrections

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Arrivant eux aussi juste à temps pour les candidats passant les épreuves terminales du BAC S/ES/L cette semaine, voici ce soir les tout derniers sujets tombés la semaine dernière en Polynésie française.

Série S:

• LV1 Anglais

Série ES:

• Maths Spécialité
• SES Obligatoire
• Histoire-Géographie
• LV1 Anglais
• LV2 Tahitien

Série L:

• Maths (sauf exo 3)
• Littérature
• Histoire-Géographie
• LV1 Anglais

Ils s'ajoutent bien sûr à l'ensemble des sujets du BAC tombés au cours de l'année scolaire 2012-2013, et avec lesquels ils sont consultables et utilisables ci-dessous.

Bonne chance!

Téléchargements:
BAC S: sujets 2012-2013 toutes matières et toutes zones + corrigés
BAC ES: sujets 2012-2013 toutes matières et toutes zones + corrigés
BAC L: sujets 2012-2013 toutes matières et toutes zones + corrigés

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Arrivant juste à temps pour les candidats passant les épreuves anticipées de Première du BAC S/ES/L demain et après-demain, voici ce soir les tout derniers sujets tombés la semaine dernière en Polynésie française.

Série S: Français + Histoire-Géographie
Série ES: Français + Sciences
Série L: Sciences

Ils s'ajoutent bien sûr à l'ensemble des sujets du BAC tombés au cours de l'année scolaire 2012-2013, et avec lesquels ils sont consultables et utilisables ci-dessous.

Bonne chance!

Téléchargements:
BAC S anticipé: sujets 2012-2013 toutes matières et toutes zones
BAC ES anticipé: sujets 2012-2013 toutes matières et toutes zones
BAC L anticipé: sujets 2012-2013 toutes matières et toutes zones

[critor]

Bonjour,


Aujourd'hui nous allons regarder ensemble l'algorithme qui est tombé dans l'exercice non-Spécialité du BAC S dans les Centres Etrangers en juin 2013, dans le contexte de suites récurrentes comme la plupart du temps:

Question A)1)
Il nous faut donc compléter l'algorithme fourni, qui se doit de calculer par récurrence le 9^ème terme de la suite, et dans lequel deux affectations sont incomplètes. C'est un algorithme type, et les deux affectations correspondent au calcul de récurrence, et à l'incrémentation du rang.

Code: Select all

Variables:
   n est un entier naturel
   u est un réel
Initialisation:
   Affecter à n la valeur 1
   Affecter à u la valeur 1,5
Traitement:
   Tant que n<9
      Affecter à u la valeur (nu+1)/(2(n+1))
      Affecter à n la valeur n+1
   Fin Tant que
Sortie:
   Afficher la variable u

Resterait encore à vérifier à la calculatrice graphique si notre algorithme est juste, en le traduisant en un programme. Remarquons que l'énoncé nous donne gentiment un tableau de valeurs de la suite à la question A)3), mais que le terme u₉ n'y figure pas. Nous allons donc par exemple apporter une toute petite modification au programme en question, en lui faisant demander le rang du terme à calculer, ce qui nous permettra de vérifier la justesse de l'algorithme avec les autres termes du tableau.

Voici par exemple le programme adéquat pour TI-76/82/83/84, et qui nous confirme bien la valeur de u₆ du tableau:

Si vous ne disposez pas de ce type de calculatrice, on réalise tout aussi facilement un programme équivalent pour TI-Nspire, Casio Graph/Prizm/fx-CG, ou HP-39gII/Prime:

Il faut bien faire attention à ne pas utiliser de multiplication implicite sur les modèles formels, dont ici la TI-Nspire et la HP-Prime.

Petit détail sur Casio Classpad/fx-CP, où le résultat est affiché par défaut sous forme fractionnaire exacte, non directement comparable avec les valeurs du tableau:

Il faut faire appel à la fonction approx() afin de bien obtenir une forme décimale approchée:

Question A)2)
On nous demande donc maintenant de modifier l'algorithme obtenu pour qu'il affiche tous les termes de u₂ à u₉. Il nous suffit donc de déplacer l'instruction d'affichage finale dans la boucle, afin qu'elle soit exécutée pour toutes les valeurs de la suite:

Code: Select all

Variables:
   n est un entier naturel
   u est un réel
Initialisation:
   Affecter à n la valeur 1
   Affecter à u la valeur 1,5
Traitement et sorties:
   Tant que n<9
      Affecter à u la valeur (nu+1)/(2(n+1))
      Affecter à n la valeur n+1
      Afficher la variable u
   Fin Tant que

Afin de vérifier avec davantage de confort le bon fonctionnement de notre algorithme sur calculatrice graphique, nous afficherons le rang n en même temps que le terme associé. Il nous suffira alors de comparer avec le tableau de valeurs de la question A)3).

Voici des programmes pour TI-76/82/83/84, TI-Nspire, Casio Graph/Prizm/fx-CG, HP-39gII/Prime et Casio Classpad/fx-CP:

Question A)3)
Au vu du seul tableau de valeurs présenté par l'énoncé, on peut conjecturer que la suite u est strictement décroissante et converge vers 0,01.



Vient ensuite une partie B) où à l'aide d'une suite géométrique auxiliaire v, il est démontré que la suite u est bien strictement décroissante, mais converge en fait vers 0 et non 0,01. Notre conjecture était donc partiellement fausse. Nous retournons ensuite à l'algorithmique avec la partie C):

Partie C)
On nous demande donc de reprendre l'algorithme de la partie A), pour rechercher le rang n du premier terme vérifiant u_n<0,001. L'algorithme de la partie A) affiche la valeur du 9^ème terme u₉. L'instruction d'affichage finale devra donc déjà être modifiée pour afficher un rang et non un terme. D'autre part, pour s'arrêter non pas au 9^ème terme mais au premier terme vérifiant u_n<0,001, il nous faut changer la condition de poursuite de la boucle tant que, en la remplaçant par le contraire logique de la condition d'arrêt recherchée, soit ici u_n≥0,001. Tout sortie de la boucle vérifiera donc forcément u_n<0,001, et comme la suite u converge vers 0 on est sûr que cela se produira.

Code: Select all

Variables:
   n est un entier naturel
   u est un réel
Initialisation:
   Affecter à n la valeur 1
   Affecter à u la valeur 1,5
Traitement:
   Tant que u≥0,001
      Affecter à u la valeur (nu+1)/(2(n+1))
      Affecter à n la valeur n+1
   Fin Tant que
Sortie:
   Afficher la variable n

Voici par exemple un programme traduisant cet algorithme pour TI-76/82/83/84, et qui nous répond 1001.

Mais comment savoir si 1001 est bien la bonne réponse? La suite u étant strictement décroissante, réutilisons donc simplement notre programme de la question A)1) afin de vérifier les valeurs des termes u₁₀₀₀ et u₁₀₀₁:

u₁₀₀₁ est donc bien le premier terme strictement inférieur à 0,001.

Si vous ne disposez pas de ces calculatrices, voici maintenant les programmes équivalents pour TI-Nspire, Casio Graph/Prizm/fx-CG et HP-39gII/Prime:

Et les Casio Classpad/fx-CP diront certains d'entre vous? Voici le programme, mais...

... mais il n'y a pas de résultat?
... en fait la calculatrice est encore en train de réfléchir, comme l'indique l'icône en bas à droite...
... aurais-je fait une erreur? toutes les autres calculatrices ci-dessus ont à peine mis plus d'une seconde, juste le temps de lâcher la touche entrée...
... ça commence à faire long, déjà plusieurs minutes...

Et ben non, tout est normal, il faut attendre... 6 MINUTES ET 40 SECONDES!!!
Non, ce n'est pas une blague...
Bref, comme toute personne normale, et qui plus est pendant un examen, vous alliez sûrement douter de vous, vous interroger, et interrompre le programme pour en vérifier le code bien avant ce délai...
Bon certes, nous savons que, si on met l'écran de côté, le matériel des Casio fx-CP400 est très inférieur à celui des TI-Nspire ou HP-Prime... Certes, j'ai toujours lu sur les forums Casio que le langage Basic des Casio Classpad était lent...
Mais 400 fois plus lent que toutes les autres calculatrices du marché il y a peut être exagération là, non?...

La calculatrice met donc de l'ordre de la demi-seconde pour chacune des itérations de la boucle, ce qui est tout simplement énorme pour un processeur. Tentons de comprendre ce qu'elle peut bien fabriquer pendant tout ce temps, en affichant le terme de la suite à chaque itération:

Ah voilà... Cela rejoint le problème que nous avions déjà évoqué à la question A)1). La calculatrice utilise en interne une forme fractionnaire exacte pour le terme u, forme qui devient au fur et à mesure des itérations de plus en plus complexe avec énormément de chiffres aux numérateur et dénominateur. Nous allons donc encore une fois corriger le problème avec la fonction approx(), pour forcer le mode décimal approché:

Ah voilà c'est beaucoup mieux, et j'ai déjà le résultat. Il m'a juste fallu attendre 50 SECONDES cette fois-ci...

Non en fait c'est nul, ça reste beaucoup trop long, et dans les 50 fois plus lent que toutes les autres calculatrices ci-dessus. Et de plus pour un algorithme type de BAC relativement simple (pas de boucles imbriquées ou ce genre de chose). Devant l'importance qu'a pris l'algorithmique dans l'enseignement secondaire français ces dernières années, thème qui tombe désormais au BAC dans toutes les séries, y compris littéraires et technologiques, je ne peux conseiller l'achat de cette calculatrice qui est tout simplement inadaptée au lycée et au BAC. Comme de plus l'aventure algorithmique se poursuit depuis cette rentrée au delà du lycée, notamment avec les nouveaux programmes de BTS et de prépa, on peut également émettre des réserves sur son adéquation à l'enseignement supérieur scientifique. N'importe lequel des autres modèles évoqués ci-dessus sera moins cher et surtout beaucoup plus rapide.



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BAC S: sujets toutes matières et corrigés 2012-2013