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C'est donc une situation type en série S, où l'algorithme tombe souvent dans le contexte de suites définies par récurrence.
Comme souvent dans ce cas, l'algorithme réimplémente la suite à l'aide d'une boucle et de deux variables.
La variable n jour le rôle de l'indice, comme le montrent les instructions suivantes d'initialisation et d'incrémentation:
- Affecter à n la valeur 0
- Affecter à n la valeur n+1
On a d'une part pour la suite:
- d0=1
- dn+1=0,5dn2
Et on retrouve ces deux mêmes informations dans l'algorithme:
- Affecter à d la valeur 1
- Affecter à d la valeur 0,5d2
La variable d prend donc les valeurs des termes de la suite dn.
Première question:
On entre donc la valeur 9 pour p et l'algorithme nous répond 5.
Cela veut donc dire qu'en sortie de l'algorithme on a n=5.
Mais si l'algorithme se termine, c'est que la boucle 'tant que' s'est terminée sur la réalisation du contraire de d>10-p, c'est-à-dire d≤10-p.
Comme p=9 et comme on termine avec n=5, on en déduit l'inégalité d5≤10-9.
Deuxième question:
On sait donc que d5≤10-9.
Or, on a montré au 4)a) que pour tout entier n≥0, un-√7≤dn.
On en déduit donc pour n=5, u5-√7≤d5.
On obtient ainsi par transitivité u5-√7≤10-9, soit u5≤√7+10-9.
Or, d'après 1)b) on sait que pour tout entier n≥0, un≥√7.
Donc pour n=5, u5≥√7
On a donc l'encadrement √7≤u5≤√7+10-9.
u5 est donc bien une valeur approchée de √7 à 10-9 près.
Lien:
BAC S 2013: Annales des sujets inédits corrigées
