Laplace avec seulement une F92

[gildasd]

Bonjour,

Pour l'examen final de Math de Mécanique Navale, nous devons résoudre une équation différentielle avec Laplace.
Nous avons droit au maximum à une Fx92-2D.
Cette exercice compte pour 4 points des 20 disponibles...

Nous avons eu un test vendredi, et j'ai un doute sur l'équation à résoudre, je pense qu'elle est possiblement fausse:
Une des étapes est un système, mais dans le cas présent, je trouve 2 solutions pour une des constantes...
Je me suis pris un 6/20 du coup

2 Questions;
- Cette équation différentielle possède une solution?
- Peut on résoudre/vérifier un système avec une Fx92 2D?

Edit:
Je demande a personne de se casser la tête, mais je n'ai pas d'outil (genre CX-Cas) pour me débloquer...
L'année prochaine, nous avons encore Laplace en automatisation, mais nous aurons droit aux calculatrices graphiques.

L' équation différentielle:
y''-9y'+20y = 4E^(4x)

(Ma tentative de résolution)

012-Laplace-test-01.jpg

012-Laplace-test-02.jpg

(Mes notes au propre, pour les geeks de math)

[Bisam]

Réponses faciles :
1) Oui, l'équa diff possède une solution puisqu'elle est linéaire... On peut même l'exprimer facilement.
2) La méthode utilisée pour le calcul de la transformée de Laplace est bonne ... mais je n'ai pas vérifié tous les calculs.
3) En revanche, pour la transformée inverse, la décomposition en éléments simples est faite de la façon la plus compliquée qui soit... et qui engendre le plus d'erreurs. Cependant... tu la maîtrises.

Le résultat trouvé pour F(s) est juste. On a bien

$mathjax$F(s)=\dfrac{2s^2-26s+76}{(s-4)^2(s-5)}$mathjax$

.
Ensuite, les valeurs trouvées pour A, B et C sont justes aussi !! On a bien A=6 et B=C=-4.

Seule ta vérification est fausse, à cause d'une erreur de signe tout en bas de ta 1ère page : il faudrait un -5C à la place du +5C... et tout rentrerait dans l'ordre.

[gildasd]

ARRRRRRGH
Bordel de signes!!!! Je refais. Merci.

Quel est le nom de cette technique de décomposition Shaolin?
Je suis d'un naturel lent en math, donc je suis preneur de tout accélérateur (légal).

Réponses faciles :
1) Oui, l'équa diff possède une solution puisqu'elle est linéaire... On peut même l'exprimer facilement.
2) La méthode utilisée pour le calcul de la transformée de Laplace est bonne ... mais je n'ai pas vérifié tous les calculs.
3) En revanche, pour la transformée inverse, la décomposition en éléments simples est faite de la façon la plus compliquée qui soit... et qui engendre le plus d'erreurs. Cependant... tu la maîtrises.

Le résultat trouvé pour F(s) est juste. On a bien

$mathjax$F(s)=\dfrac{2s^2-26s+76}{(s-4)^2(s-5)}$mathjax$

.
Ensuite, les valeurs trouvées pour A, B et C sont justes aussi !! On a bien A=6 et B=C=-4.

Seule ta vérification est fausse, à cause d'une erreur de signe tout en bas de ta 1ère page : il faudrait un -5C à la place du +5C... et tout rentrerait dans l'ordre.

[gildasd]

Corrigé avec l'aide de Bisam:

C'est pas très compliqué, mais le nombre d'étapes est propice aux erreurs "bêtes".

La FX92 ne sert a pas grand chose hormis en mode "5" pour débusquer les erreurs dans les égalités ou faire les quadratiques...

000-Laplace-test-OK-01.jpg

000-Laplace-test-OK-02.jpg

[Bisam]

La technique "rapide" pour décomposer une fraction en éléments simples est la méthode dite "méthode des pôles", que tu sembles avoir appliquée pour calculer la valeur de B.
Tu peux en fait aussi l'utiliser pour calculer C (mais pas A, car la puissance de (s-4) n'est pas maximale au dénominateur).

C'est seulement après avoir calculé B et C que tu mets au même dénominateur pour calculer A... ce qui te fait une seule équation.
Mais tous les moyens sont bons pour calculer A, donc tu peux aussi calculer l'égalité en n'importe quelle valeur de s qui n'annule pas le dénominateur.

Ici, cela donnerait :
1) On sait qu'il existe des constantes A,B,C telles que pour tout s pour lequel la fraction est définie, on a :

$mathjax$F(s)=\dfrac{2s^2-26s+76}{(s-4)^2(s-5)}=\dfrac{A}{s-4}+\dfrac{B}{s-5}+\dfrac{C}{(s-4)^2}$mathjax$

.
2) Par la méthode des pôles,

$mathjax$B=\dfrac{2\times 5^2-26\times 5 +76}{(5-4)^2}=-4$mathjax$

3) Par la méthode des pôles également, on a

$mathjax$C=\dfrac{2\times 4^2-26\times 4 +76}{4-5}=-4$mathjax$

4) En calculant en

$mathjax$s=0$mathjax$

, on a

$mathjax$F(0)=\dfrac{76}{-80}=-\dfrac{A}{4}-\dfrac{B}{5}+\dfrac{C}{16}$mathjax$

. On en déduit que

$mathjax$20A+16B-5C=76$mathjax$

et comme on connait B et C, on en déduit la valeur

$mathjax$A=6$mathjax$

.

4bis) À la place, on aurait pu aussi calculer la limite

$mathjax$\displaystyle{\lim_{s\rightarrow +\infty} s F(s)=\lim_{s\rightarrow +\infty} \dfrac{2s^3}{s^3}=2=\lim_{s\rightarrow +\infty} A\dfrac{s}{s-4}+B\dfrac{s}{s-5}+C\dfrac{s}{(s-4)^2}=A+B}$mathjax$

. On trouve là encore

$mathjax$A=6$mathjax$

.

[gildasd]

Merci.

J'avais la préconception que la méthode des pôles ne marchait pas pour un dénominateur ayant une puissance...
Et c'est l'inverse - diantre.

Donc si nous avons comme dénominateurs de F(s): (xy)=0 et (xy)^2=0 , la méthode des pôles ne s’applique qu'au second?


Nota: tu utilise quoi pour afficher les maths proprement dans tes posts?

[Bisam]

Effectivement, la méthode des pôles fonctionne uniquement pour les éléments simples dont le dénominateur a une puissance maximale dans la factorisation du dénominateur de la fraction de départ.

Pour afficher les maths, j'utilise LaTeX qui est désormais intégré à ce forum.
Il suffit de taper ton code LaTeX en l'insérant dans des balises [ latex ] et [ /latex ] (sans les espaces...)

[gildasd]

Désolé, mais je ne suis qu'un simple étudiant en mécanique navale,

Effectivement, la méthode des pôles fonctionne uniquement pour les éléments simples dont le dénominateur a une puissance maximale dans la factorisation du dénominateur de la fraction de départ.

Cela donne quoi en Français "mécano"? Je ne voudrait pas mal te comprendre...
Je commence a avoir un "tic" dans l’œil droit a force de relire cette phrase!

[Bisam]

Je vais te donner un exemple, ce sera plus simple à comprendre.

Si tu as une fraction

$mathjax$F(s)=\dfrac{P(s)}{(s-a)^4(s-b)^2(s-c)^3}$mathjax$

(avec

$mathjax$P(s)$mathjax$

un polynôme de degré inférieur ou égal à 8), tu sais qu'elle peut se décomposer sous la forme

$mathjax$F(s)=\dfrac{A}{s-a}+\dfrac{B}{(s-a)^2}+\dfrac{C}{(s-a)^3}+\dfrac{D}{(s-a)^4}+\dfrac{E}{s-b}+\dfrac{F}{(s-b)^2}+\dfrac{G}{s-c}+\dfrac{H}{(s-c)^2}+\dfrac{K}{(s-c)^3}$mathjax$

Avec la méthode des pôles, tu ne pourras calculer que D, F et K.

[gildasd]

Parfait,

Merci.