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Question A)1)
On souhaite donc obtenir sur une feuille de calculs un tableau de valeur de la suite (un).
Parmi les 4 propositions, on peut déjà éliminer la formule a), qui est la même que d) mais non écrite correctement pour un tableur avec utilisation de la variable n au lieu de la cellule C1.
Pour la formule b) $B$2 correspondrait toujours à u0, et elle code donc la relation un=0,4u0+3.
un ne dépendrait donc pas de n et la suite (un) serait constante, ce qui est trivialement faux selon le tableau de valeurs fourni.
Resteraient les formules c) et d), C2:=B2*0,4+3 et C2:=0,4^C1+3, qui se traduisent algébriquement par un+1=0,4un+3 et un+1=0,4n+3.
d) est donc une formule générale explicite, tandis que c) est une relation de récurrence, identique à la définition de l'énoncé.
C'est donc cette dernière que nous choisissons: réponse c).
Il était aussi possible de réaliser la feuille de calculs sur sa calculatrice graphique et d'y tester les formules une par une.
En effet les TI-Nspire, Casio Graph 75/85/95/fx-CG, HP-39gII/Prime et Casio Classpad/fx-CP disposent d'une application tableur, qui nous confirme que seule le formule c) génère le même tableur de valeurs:
Remarque: Les Casio Graph 25+Pro et Graph 35+USB ne disposent pas d'une telle application. Mais il est toutefois possible d'installer le système Graph 75/85/95 sur une Graph 35+USB et donc d'y disposer de l'application tableur.
A défaut, il vous suffira de la réinstaller.
Remarque: Il n'existe hélas pas d'application équivalent pour TI-76.fr/82Stats, ni pour la nouvelle TI-84 Plus C couleur à ce jour. Une application officielle était censée sortir à la rentrée pour cette dernière, mais hélas a déjà pris pas mal de retard et a été repoussée deux fois.
Question A)2)
On peut conjecturer que la suite tend vers 5, par valeurs inférieures.
$mathjax$\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=5^-$mathjax$
Question A)3)
On nous suggère donc pour construire l'algorithme d'utiliser le tableau de valeurs, c'est-à-dire de comprendre ce qu'il fait. Cet algorithme s'articule donc autour d'une boucle tant que.
Dans cet algorithme, la variable u contient la valeur d'un terme de la suite (un), puisque initialisée à u0=-1 et modifiée dans la boucle selon la relation de récurrence.
La variable n quant à elle représente le rang, puisque initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle tant que.
L'algorithme s'arrête en renvoyant la valeur de n sur sortie de la boucle tant que, soit sur la réalisation du contraire de la condition de poursuite |u-5|>10-p, c'est-à-dire |u-5|≤10-p.
En sachant de plus que p=2, cela nous donne un arrêt sur |u-5|≤10-2.
cela se traduit algébriquement par:
|un-5|≤10-2
-(un-5)≤10-2 car nous avons conjecturé un-5<0 dans notre contexte
5-un≤10-2
5-10-2≤un
5-0,01≤un
4,99≤un
un≥4,99
Une recherche de cette condition dans le tableau de valeurs fourni nous donne donc n=7.
Il était également possible de ne rien avoir à comprendre de l'algorithme et de se contenter de le programmer sur sa calculatrice graphique afin de lui demander la réponse.
Voici des programmes traduisant cet algorithme et confirmant ce résultat pour TI-76/82/83/84, TI-Nspire/89/92/V200, Casio Graph/fx-CG, HP-39gII/Prime et Casio Classpad/fx-CP:
Question B)1)
(vn) est une suite géométrique de premier terme v0=6 et de raison q=0,4.
Question B)2)
Comme
$mathjax$-1<0,4<1, \lim\limits_{n\to+\infty}(0,4)^n$mathjax$
$mathjax$=0$mathjax$
Donc
$mathjax$\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=\lim\limits_{n\to+\infty}6\times(0,4)^n$mathjax$
$mathjax$=6\times\lim\limits_{n\to+\infty}(0,4)^n$mathjax$
$mathjax$=6\times0$mathjax$
$mathjax$=0$mathjax$
Question B)3)
$mathjax$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}5-v_n$mathjax$
$mathjax$=5-\lim\limits_{n\to+\infty}v_n$mathjax$
$mathjax$=5-0$mathjax$
$mathjax$=5$mathjax$
Question B)4)a)
$mathjax$(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$mathjax$
étant une suite géométrique, $mathjax$v_0+v_1+\dots+v_n=v_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$mathjax$
$mathjax$=6×\frac{1-(0,4)^{n+1}}{1-0,4}$mathjax$
$mathjax$=6×\frac{1-(0,4)^{n+1}}{0,6}$mathjax$
$mathjax$=\frac{6}{0,6}\left(1-(0,4)^{n+1}\right)$mathjax$
$mathjax$=10\left(1-(0,4)^{n+1}\right)$mathjax$
Question B)4)b)
$mathjax$u_0+u_1+\dots+u_n=(5-v_0)+(5-v_1)+\dots+(5-v_n)$mathjax$
$mathjax$=(5+5+\dots+5)-(v_0+v_1+\dots+v_n)$mathjax$
$mathjax$=5n-10\left(1-(0,4)^{n+1}\right)$mathjax$
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