definition complexe
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Catégories :Categories: Cours et Formulaires TI-82+/83+/84, Cours et Formulaires TI-76/82Stats/83, Cours et Formulaires TI-82
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Type : Texte nécessitant un lecteur
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Taille Size: 3.25 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 31/01/2013 - 07:22:53
Mis à jour Updated: 01/06/2013 - 00:00:25
Uploadeur Uploader: pamphy (Profil)
Téléchargements Downloads: 419
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a10854
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Description
Fichier TxtView généré sur TI-Planet.org.
Compatible TI-73/76/82/83/84.
Nécessite l'intallation d'un kernel/shell compatible et du programme TxtView approprié.
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FORME ALGEBRIQUE
on admet l'existance d'un nombre imaginaire noté i tel que i^2=-1. un nombre complexe est un nombre qui peux s'ecrire sous la forme Z = a + ib avec a et b deux nombres reels.
cette ecriture est appelee forme algebrique du complexe Z
a est appelé la partie reel de Z et l on note a= Re (Z)
b est la partie imaginaire de Z et l'on note Im (Z)
EGALITE DE DEUX NOMBRE COMPLEXES
theoreme : deux nombre complexe sont egaux si et seulement si ils ont respectivement la meme partie reelle et meme partien imaginaire.
SOMME DE DEUX NOMBRE COMPLEXE
pour additionner deux nombres comlexes, on additionne leurs parties réelles puis leurs parties imagnaire.
(a + ib)+(a'+ib')= (a+a')+i(b+b')
PRODUIT DE DEUX NOMBRES REELS
on definie le produit de deux nombres complexes de la maniere suivante :
(a+ib)(a'+ib') = (aa'-bb')+i(ab'+a'b)
CONJUGUE DUN NOMBRE COMPLEXE
soit Z= a + ib un nombre complexe. on appelle conjugué de Z le nombre complexe noté Z tel que Z= a - ib
REPRESENTATION Graphique
Pour representer graphiquement les nombres complexes, on se plac dans un plan complexe mini du repere orthonormé (0, u, v). tout nomnre complexe Z= a + ib est representé soit :
par le point M de coordonnées (a,b)
soit par le vecteur OM de coordonnées (a,b)
M(a,b) est appele image du nombre complexe Z= a + ib
le vecteur OM (a,b) est appele vecteur image du nombre complexe Z = a + ib
le nombre omplexe Z est appee affixe du point M ou du vecteur OM
la droite (o,u) du plan reel est appele plan complexe
la droite (o,v) est appele axe imaginaire
LE MODULE
le module d'un nombre complexe Z = a+ib est le nombre noté Z tel que Z = racine a^2 + b^2
ARGUMENT
soit Z= a+ib un nombre complexe non nul d'image M dans le plan complexe muni du repere (0,u,v) et teta une mesure de l'angle orrienté (u, OM). teta est appelé argument du nmbre complexe Z. on note teta = arg (Z) modulo 2pi
FORME TRIGONOMÉTRIQUE
soit Z = a + ib un nobre complexe non nu. on apelle (formule) la forme trigo de z avc teta = arg (Z) modulo 2pi
FORME EXPONENTIELLE
le nombre complexe Z, de module z et d'argument teta a pour forme exponentielle z= formule
démonstration
arg(zz') = arg (z) + arg(z')
donc arg(z*(1/z)) = arg(1) 2pi
donc arg (z') + arg(1/z) = 0
arg(1/z) = -arg (z)
arg(z1/z2) = arg(z1) - arg (z2)
donc arg (z1/z2) = arg (z1) + arg (1/z2)
donc arg (z1/z2 ) = arg (z1) - arg (z2)
arg (zd-zc)/(zb-za) = arg (zd-za) - arg (zb-za)
= (u, cd ) - ( u, ab ) les vecteur u ... et toujours 2pi a la fin
(ab, u ) + (u, cd)
(ab, cd)
initialisation : tu le fait avc arg(z^1) = arg (z)
heredité : arg (z^k) = k arg (z)
arg (z^k * z ) = arg (z^k)+ arg (z)
= k arg (z) + arg (z)
tu conclu
ZZ' (bar) = Z * Z' (avec des bar)
ZZ' = (a+ib)(a'+ib')
(aa' - bb') + i(ab'+ba')
ZZ' (bar) = (aa'-bb') - i(ab' + ba')
Z(bar) * Z'(bar) = (a - ib)*(a'-ib')
= aa' - ab'i - a'bi i^2bb'
= (aa'-bb')- i(ab'+a'b)
1/z (bar) = 1/z(bar)
1/z * z = 1
(1/z * z) bar= 1 bar
(1/z) bar * (z)bar = 1 bar
tu divise tout par z
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FORME ALGEBRIQUE
on admet l'existance d'un nombre imaginaire noté i tel que i^2=-1. un nombre complexe est un nombre qui peux s'ecrire sous la forme Z = a + ib avec a et b deux nombres reels.
cette ecriture est appelee forme algebrique du complexe Z
a est appelé la partie reel de Z et l on note a= Re (Z)
b est la partie imaginaire de Z et l'on note Im (Z)
EGALITE DE DEUX NOMBRE COMPLEXES
theoreme : deux nombre complexe sont egaux si et seulement si ils ont respectivement la meme partie reelle et meme partien imaginaire.
SOMME DE DEUX NOMBRE COMPLEXE
pour additionner deux nombres comlexes, on additionne leurs parties réelles puis leurs parties imagnaire.
(a + ib)+(a'+ib')= (a+a')+i(b+b')
PRODUIT DE DEUX NOMBRES REELS
on definie le produit de deux nombres complexes de la maniere suivante :
(a+ib)(a'+ib') = (aa'-bb')+i(ab'+a'b)
CONJUGUE DUN NOMBRE COMPLEXE
soit Z= a + ib un nombre complexe. on appelle conjugué de Z le nombre complexe noté Z tel que Z= a - ib
REPRESENTATION Graphique
Pour representer graphiquement les nombres complexes, on se plac dans un plan complexe mini du repere orthonormé (0, u, v). tout nomnre complexe Z= a + ib est representé soit :
par le point M de coordonnées (a,b)
soit par le vecteur OM de coordonnées (a,b)
M(a,b) est appele image du nombre complexe Z= a + ib
le vecteur OM (a,b) est appele vecteur image du nombre complexe Z = a + ib
le nombre omplexe Z est appee affixe du point M ou du vecteur OM
la droite (o,u) du plan reel est appele plan complexe
la droite (o,v) est appele axe imaginaire
LE MODULE
le module d'un nombre complexe Z = a+ib est le nombre noté Z tel que Z = racine a^2 + b^2
ARGUMENT
soit Z= a+ib un nombre complexe non nul d'image M dans le plan complexe muni du repere (0,u,v) et teta une mesure de l'angle orrienté (u, OM). teta est appelé argument du nmbre complexe Z. on note teta = arg (Z) modulo 2pi
FORME TRIGONOMÉTRIQUE
soit Z = a + ib un nobre complexe non nu. on apelle (formule) la forme trigo de z avc teta = arg (Z) modulo 2pi
FORME EXPONENTIELLE
le nombre complexe Z, de module z et d'argument teta a pour forme exponentielle z= formule
démonstration
arg(zz') = arg (z) + arg(z')
donc arg(z*(1/z)) = arg(1) 2pi
donc arg (z') + arg(1/z) = 0
arg(1/z) = -arg (z)
arg(z1/z2) = arg(z1) - arg (z2)
donc arg (z1/z2) = arg (z1) + arg (1/z2)
donc arg (z1/z2 ) = arg (z1) - arg (z2)
arg (zd-zc)/(zb-za) = arg (zd-za) - arg (zb-za)
= (u, cd ) - ( u, ab ) les vecteur u ... et toujours 2pi a la fin
(ab, u ) + (u, cd)
(ab, cd)
initialisation : tu le fait avc arg(z^1) = arg (z)
heredité : arg (z^k) = k arg (z)
arg (z^k * z ) = arg (z^k)+ arg (z)
= k arg (z) + arg (z)
tu conclu
ZZ' (bar) = Z * Z' (avec des bar)
ZZ' = (a+ib)(a'+ib')
(aa' - bb') + i(ab'+ba')
ZZ' (bar) = (aa'-bb') - i(ab' + ba')
Z(bar) * Z'(bar) = (a - ib)*(a'-ib')
= aa' - ab'i - a'bi i^2bb'
= (aa'-bb')- i(ab'+a'b)
1/z (bar) = 1/z(bar)
1/z * z = 1
(1/z * z) bar= 1 bar
(1/z) bar * (z)bar = 1 bar
tu divise tout par z
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