1) Calculatrices graphiques et calcul exactGo to top Les calculatrices graphiques de milieu de gamme disposent d'un moteur de calcul exact. À la place d'écritures décimales éventuellement approchées, ce dernier permet d'obtenir les résultats numériques sous la forme exacte attendue par l'enseignant de Mathématiques.
Sur les modèles milieu de gamme de
Casio (Graph 35+E II, Graph 90+E, Graph Math+) et
Texas Instruments (TI-82 Advanced Edition Python, TI-83 Premium CE Edition Python), le moteur en question est de type
QPiRac. C'est-à-dire qu'il se base sur des propriétés remarquables
(notamment sur les parties décimales) pour identifier et afficher correctement les nombres appartenant aux 2 familles suivantes :
Ces familles sont également gérées par la calculatrice
NumWorks, positionnée elle aussi dans le milieu de gamme de par son prix :
Ces deux familles étaient adaptées à l'ancien programme de Première Scientifique jusqu'à l'année scolaire 2018-2019.
Il est à noter que ce n'est hélas plus le cas de nos jours. Depuis l'année scolaire 2019-2020, les exponentielles sont abordées en spécialité Mathématiques dès la classe de Première Générale.
Heureusement nous avons la
NumWorks qui fait mieux. En effet le fonctionnement de son moteur de calcul exact
Poincaré est différent ; il travaille non pas en faisant tourner des algorithmes numériques sur les résultats approchés, mais directement sur des arbres de calculs permettant de représenter les différentes saisies.
Là où la concurrence se contente d'écritures décimales approchées dès que l'on sort des deux familles précédentes, la
NumWorks à la différence a l'immense avantage d'être capable de retourner une valeur exacte pour n'importe quelle saisie algébrique ! 👍
2) Calculatrices NumWorks et calcul littéralGo to top 
À l'origine la
NumWorks était même encore plus géniale que cela. Le moteur faisant appel non pas à des algorithmes numériques mais à des algorithmes de traitement d'arbres, les noeuds pouvaient être aussi bien des valeurs numériques que des lettres ou expressions littérales. Il était ainsi possible de saisir des expressions littérales et d'en obtenir une simplification en résultat
(développement + réduction) ! 👍
Cette fonctionnalité rajoutée dès
décembre 2017 avec la mise à jour
1.2 du
firmware officiel
Epsilon fut malheureusement désactivée en
juin 2019 avec la mise à jour
11.2,
NumWorks estimant qu'elle constituait un obstacle à ses projets d'expansion à l'international, nombre de nos voisins européens interdisant en effet déjà toute fonctionnalité de calcul littéral ou formel à leurs examens de l'enseignement secondaire.
Toutefois le fonctionnement interne de
Poincaré n'a pas changé. Les arbres continuent à pouvoir mélanger noeuds numériques et littéraux, et le moteur continue à procéder aux simplifications par développements et réductions. C'est juste à la fin si l'expression correspondant à l'arbre obtenu après traitement fait encore appel à des termes littéraux, que le résultat affiché est au dernier moment remplacé par la valeur
undef.
Pour ceux qui disposent d'une calculatrice
NumWorks N0100 (arrêtée pour la rentrée 2019) ou
N0110 (arrêtée pour la rentrée 2023), il est ainsi possible de réactiver le calcul littéral en installant un
firmware Omega ou
Upsilon. Ces
firmwares tiers sont des
forks améliorés du
firmware officiel
Epsilon, et entre autres retirant justement la limitation précédente.
Et précisons de plus qu'avec la mise à jour
Epsilon 15.3 de
janvier 2021,
NumWorks avait changé son algorithme de détermination de nombres dérivés. L'algorithme numérique pouvant retourner des résultats faux dans bien des cas particuliers avait été remplacé par une véritable dérivation de l'expression de la fonction au niveau de l'arbre de calcul, autrement plus fiable.
Les
firmwares tiers
Omega et
Upsilon exploitent fort avantageusement ce nouvel algorithme, en te permettant d'obtenir l'expression littérale de la fonction dérivée ! 👍
Pour cela, dans ta saisie demandant le nombre dérivé en une valeur, il suffit de remplacer la valeur en question par la variable de la fonction.
Si à la différence tu disposes d'une calculatrice plus récente
NumWorks N0115 ou
N0120 à ce jour incompatible avec les
firmwares non officiels, pas de dérivation littérale possible.
Mais concernant les développement et réduction d'expressions littérales il y a toutefois une astuce si tu sais faire preuve d'un minimum de malice.
Si ton expression ne fait intervenir au maximum que 3 paramètres, il te suffit de remplacer chaque paramètre de l'expression par une des 3 constantes numériques suivantes qui à la différence sont parfaitement autorisées à intervenir dans les arbres-résultats :
π,
e et
i. La seule chose à laquelle il faut faire attention lors de ce choix, c'est à ce qu'aucune des propriétés spécifiques à la constante en question n'intervienne lors de la simplification de l'expression.
Exemple : pour développer et réduire
$mathjax$(a-2)^3$mathjax$
, il suffit par exemple d'associer la constante
π au paramètre
a. La saisie de
$mathjax$(π-2)^3$mathjax$
nous permettra d'obtenir après un tout petit effort de renommage que l'expression développée est
$mathjax$a^{3}-6a^{2}+12a-8$mathjax$
! 👍
Nous évoquerons par la suite l'utilisation de cette astuce en tant que
pseudo-calcul littéral.
Deux ans de mises à jour inhabituellement rares et relativement mineures de la calculatrice graphique
NumWorks, la dernière évolution majeure étant l'ajout de l'application de tableau périodique des éléments en 2022. Nous nous demandions sur quoi le constructeur pouvait bien travailler depuis, et nous avions plusieurs hypothèses, comme une
calculatrice scientifique pour le Collège ou encore la refonte ô combien nécessaire de la plateforme en ligne.
Et bien
NumWorks vient tout juste de lancer le bêta-test public de sa prochaine mise à jour
Epsilon 24. Et sans pour autant invalider les deux pistes précédentes, cette mise à jour révèle un autre grand projet.
2 versions du
firmware ont été diffusés à ce jour :
- 24.0.0 le 11 décembre 2024
- 24.0.1 dès le 12 décembre 2024
4) Application Calculs et nouveau moteurGo to top Première chose qui nous saute aux yeux, c'est un changement majeur au niveau du moteur de calcul.
Pour cela calculons en mode degrés
$mathjax$Arcsin\left(Arccos\left(Arctan\left(tan\left(cos\left(sin\left(9\right)\right)\right)\right)\right)\right)$mathjax$
.
Le résultat théorique est de
9. Toutefois les calculatrices numériques ne travaillant pas sur la totalité de l'ensemble des nombres réels, ni même sur celui des nombres décimaux, mais sur un tout petit sous-ensemble de nombres dits en virgule flottante, répondent presque toutes une valeur approchante, que nous appelons signature trigonométrique.
Du temps où les calculatrices disposaient de fort peu de mémoire et déléguaient intégralement au matériel les divers algorithmes de calcul, cette signature permettait d'identifer la famille de processeur utilisée.
De nos jours c'est encore partiellement vrai sur les calculatrices scientifiques, mais plus du tout sur les calculatrices graphiques où les algorithmes de calcul relèvent intégralement ou presque du logiciel.
Toutefois le test reste pertinent, la signature permettant malgré tout d'identifier le moteur de calcul utilisé, et ce peu importe qu'il soit logiciel ou matériel.
Avec son traitement non pas numérique mais via des arbres de l'expression saisie, la
NumWorks se démarquait jusqu'ici avec un résultat correct de
9. Précisons que c'est extrêmement rare. On peut citer dans ce cas les
Kinpo SG1 et
SG2, des calculatrices graphiques qui ont été commercialisées exclusivement en marque blanche
(Citizen SRP-325G et HP 9g pour la SG1, Citizen SRP-400G et Datexx DS-883 pour la SG2).
Et bien avec
Epsilon 24 il y a du changement, le résultat passe de façon totalement inattendue de
9 à
8.9999999995623 :
Cela nous indique que le moteur de calcul a été complètement remplacé
(nous ignorons d'ailleurs si il conserve le nom de Poincaré suite à ce changement majeur).
La signature trigonométrique
8.9999999995623 étant de plus jusqu'à aujourd'hui totalement inconnue de l'Internet, cela indiquerait également un moteur de calcul venant d'être développé spécifiquement pour la
NumWorks (et non l'utilisation ou achat d'un moteur de calcul déjà développé par une entité tierce).
Dur à confirmer sans accès au code source, mais la nouvelle signature nous suggère de plus que le nouveau moteur n'utiliserait plus les arbres de calculs.
On peut donc s'attendre à bien des changements en conséquence, mais a priori, vu les caractéristiques précédentes géniales et à ce jour exclusives qui faisait toute la supériorité de la calculatrice
NumWorks dans le milieu de gamme, nous ne sommes pas très rassurés d'un point de vue utilisateurs...
Et bien ne te faisons pas souffrir plus longtemps, le pseudo-calcul littéral présenté plus haut ne fonctionne plus. Les expressions à développer/réduire saisies en utilisant les constantes numériques
π,
e et
i, te sont désormais retournées... telles quelles... c'est-à-dire non simplifiées. 😢
Si le nouveau moteur de calcul ne procède plus en priorité par développements-réductions
(peu importe que ce soit sur des objets de type arbre ou autre), cela peut se comprendre. Nous ignorons toutefois à ce jour le caractère définitif ou pas de cette lourde régression.
Ce nouveau moteur de calcul est en effet appelé à évoluer très vite, car beaucoup de choses ne vont pas à ce jour. Nul besoin de chercher bien loin, de simples petits exemples parfois même de niveau Collège suffisent à déclencher des problèmes.
Déjà pour ne pas chercher compliqué, des expressions se réduisant à une unique racine carrée ou fonction logarithme ne sont souvent plus simplifiées correctement :
La simplification a parfois lieu
(de façon possiblement différente et non optimale), mais bien souvent plus du tout
(l'expression saisie étant retournée à l'identique).
Si nous passons maintenant aux nombres complexes, les problèmes précédents additionnés à de nouveaux donnent une véritable catastrophe.
Si la calculatrice est configurée en notation
Algébrique pour les complexes, les expressions saisies peuvent ne pas être simplifiées, et lorsqu'elles le sont ne même pas respecter la notation en question :
Si la calculatrice est configurée en notation
Exponentielle pour les complexes, à la différence il y a bien respect de la notation en question, mais ce n'est pas forcément davantage utile dans le sens où la calculatrice est capable de te réponse que la notation exponentielle de ta saisie c'est littéralement
(sans simplification) $mathjax$\lvert{saisie}\rvert e^{arg\left(saisie\right)}$mathjax$
. On apréciera certes le rappel de cours...
Seule et unique amélioration que nous avons réussi à trouver dans le contexte de l'application
Calculs, les sommes qui acceptent un nombre beaucoup plus important de termes :
Avec des arbres de calcul, elles devaient nécessiter pas mal de ressources mémoire. Et effectivement, si les arbres de calcul ont été remplacés, cela expliquerait des sommes plus ambitieuses de termes permettant notamment une meilleure exploration des séries numériques.
5) Application Grapheur et fonctionsGo to top Le moteur de calcul servant de façon transversale à l'ensemble des autres applications à l'exception de l'application Python, on pourrait a priori s'attendre à y retrouver des anomalies similaires.
Toutefois dans le cadre des graphes tracés avec l'application Grapheur, nous avons quelques surprises...
Déjà, la fonction
f d'expression
$mathjax$f(x)=\sqrt[3]x$mathjax$
n'est plus tracée correctement ; il lui manque toute la partie du graphe pour x<0 :
Pourquoi ? Voici une piste, rappelons que les nombres complexes ne sont pas loin dans ce cas. Par exemple :
Ici nous sommes bien configurés sur
Réel, mais peut-être que ce réglage est ignoré lors du tracé des graphes.
Autre hypothèse, peut-être que lors des calculs internes pour x<0 le moteur passe ici à un moment ou un autre sur l'ensemble des nombres complexes, mais oublie à la fin de repasser sur l'ensemble des nombres réels pour les résultats réels. Ceci expliquerait l'absence d'images affichées pour tout x<0.
Une racine peut également s'écrire en tant que puissance. Par exemple,
$mathjax$\sqrt[3]{8}=8^{\frac{1}{3}}$mathjax$
. Tentons donc de creuser le problème avec la fonction
f d'expression
$mathjax$f(x)=x^{1+\frac{\lvert{x}\rvert}{x}}$mathjax$
. Tiens, très étrange, avec le nouveau moteur de calcul il y aurait une valeur interdite x=-6,4 donnant comme image
undef, et le graphe semble beaucoup moins propre et net pour x<0 :
Très étrange car ici encore, l'image f(-6,4) existe parfaitement si on l'appelle depuis l'onglet
Tableau ou encore l'application
Calculs… Peut-être donc bien comme évoqué l'opération de mise à la puissance qui dans certaines conditions spécifiques passerait par l'ensemble des nombres complexes pour retourner un résultat réel, mais qui ne serait pas détecté comme tel par le grapheur.
En passant, légère amélioration, les nombres dérivés pour x<0 sont maintenant déterminés correctement :
Pour tenter d'y voir un peu mieux, passons à une fonction
f non constante pour x<0, par exemple d'expression
$mathjax$f(x)=-\lvert{x^{\frac{\lvert{x}\rvert}{x}}}\rvert$mathjax$
:
On note ici aussi anormalement sur
Epsilon 24 un tracé étrangement moins lisse, et au moins 2 valeurs interdites retournant comme image
undef : -6,4 et -0,2. Et pourtant ici encore aucun problème avec les images si appelées autrement que via le graphe.
Tiens pour voir, tentons de tracer le graphe symétrique par l'axe horizontal, en définissant la fonction
g d'expression
$mathjax$g(x)=-f(x)$mathjax$
:
Très étrange, contrairement à ce à quoi nous aurions pu nous attendre, ici les valeurs interdites donnent pour image non pas
undef mais +∞, avec des erreurs de tracé qui nous permettent de remarquer qu'il y a beaucoup plus que 2 cas problématiques...
Petite amélioration toutefois niveau graphes, il y avait parfois de mauvais tracés au niveau de points de discontinuité. Ces derniers ne sembles plus se produire lorsque le grapheur s'appuie sur le nouveau moteur :
Puisque l'on change radicalement de moteur de calcul, il nous faut réévaluer les performances.
Pour les calculatrices munies de l'opérateur de sommation, nous comparons habituellement les performances en chronométrant le temps de calcul de la somme suivante, en mode degrés :
$mathjax$\sum\limits_{x=1}^{1000}{\sqrt[3]{e^{sin\left(Arctan\left(x\right)\right)}}}$mathjax$
| Epsilon 23 | Epsilon 24 |
NumWorks N0110/N0115 | 1.103s | 0.521s |
NumWorks N0120 | 0.252s | 0.0355s |
Les différentes calculatrices
NumWorks progressent nettement sur ce test, mais pas dans les mêmes proportions :
- 2 fois moins de temps sur calculatrices NumWorks N0110/N0115
- mais 7 fois moins de temps sur calculatrice NumWorks N0120, à croire qu'il y a désormais des lignes spécifiques à son processeur dans le code source
Autre test certes moins précis, mais avec l'avantage de permettre de comparer toutes les calculatrices graphiques entre elles, même les premières à partir de 1985 ou encore les clones bas de gamme, car elles sont toutes capables de tracer au moins 1 graphe de fonction.
Il s'agit de chronométrer le temps de tracé de la fonction
f d'expression suivante, en mode radians :
$mathjax$f(x)=0+\sqrt[3]{Arcsin\left(Arccos\left(cos\left(sin\left(Arcsin\left(Arccos\left(Arctan\left(tan\left(cos\left(sin\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}$mathjax$
| Epsilon 23 | Epsilon 24 |
NumWorks N0110/N0115 | 2.544s | 5.74s |
NumWorks N0120 | 0.357s | 1.396s |
Ici curieusement, évolution dans l'autre sens avec des tracés dans les 2 à 4 fois plus lents
(possiblement liés au temps nécessaire pour déterminer automatiquement les bornes de la fenêtre graphique).
À ce jour donc, Epsilon 24 présente un nouveau moteur de calcul avec pas mal de régressions.
Pour le moment, les quelques améliorations apportées, notamment sur les sommes pour l'étude des séries numériques dans l'enseignement supérieur, sont très loin de compenser tout ce que l'on perd.
Rien de grave, NumWorks va sûrement redoubler d'efforts pour t'apporter un moteur de calcul pleinement fonctionnel pour une mise à jour Epsilon 24 stable d'ici les examens 2025... ou bien inversement faire preuve de sagesse/prudence et remettre ce changement majeur à une autre année.
Nous sommes juste un peu surpris qu'un moteur dans un tel état avec des anomalies dès le niveau Collège ait pu atteindre la phase de bêta-test public ; il y a tellement de dysfonctionnements dans tous les sens que nous voyons mal les utilisateurs sans aucun accès au code source pouvoir aider à mettre de l'ordre dans ce chaos.
À moins que les conséquences d'un des derniers changements apportés au moteur aient mal été évaluées...
Si la quasi totalité des régressions évoquées seront forcément corrigées par NumWorks d'une façon ou d'une autre (aucune inquiétude de notre part à ce sujet) ; nous ignorons toutefois si la possibilité d'effectuer du pseudo-calcul littéral sera conservée par le nouveau moteur de calcul.
Si jamais tu as installé
Epsilon en version
24.0.0 ou
24.0.1 sur une calculatrice destinée à servir dans un contexte scolaire, nous ne pouvons que te conseiller de revenir aussitôt que possible sur
Epsilon 23 stable
via le site officiel.
Ces détails étant traités, passons au plus important. Mais que peut bien tenter de faire
NumWorks ?
Visiblement, ils étaient ces deux dernières années à fond sur une refonte intégrale de leur moteur de calcul, d'où l'impression de faiblesse des mises à jour que nous avons eue dans l'intervalle. Un projet majeur, consacrer autant d'énergie, de temps et d'une façon ou d'une autre de moyens à une telle tâche ne se fait pas sans objectifs à la mesure de la chose, d'autant plus lorsque le constructeur disposait déjà, et de loin comme nous avons vu, du meilleur moteur de calcul de tout le milieu de gamme graphique.
L'abandon comme nous avons supposé du traitement des expressions via des arbres de calcul devrait permettre d'économiser de la mémoire.
Comme
redgl0w l'a évoqué, cela pourrait s'inscrire dans le projet du constructeur de sortir une
calculatrice scientifique pour le Collège, qui n'aura pas d'autre choix que d'être proposée sous la barre des 30€ au grand maximum, et aura besoin d'un matériel choisi en conséquence possiblement avec moins de mémoire entre autres.
Sous cette hypothèse, les utilisateurs de la calculatrice
NumWorks graphique seraient donc en train de bêta-tester le moteur de calcul de la future calculatrice
NumWorks scientifique. Et une fois ce futur modèle sorti, on pourrait imaginer que calculatrices
NumWorks graphique et scientifique partagent le même moteur de calcul, afin de mutualiser les forces de développement.
Regardons la chose sous un angle différent. Supprimer les arbres de calcul donc, mais pour les remplacer par quoi ?
Même si à ce jour il dysfonctionne, et mis à part le pseudo-calcul littéral sur lequel nous avons un doute, le nouveau moteur de calcul d'
Epsilon 24 n'est en rien inférieur au précédent.
Cela reste un moteur avec des capacités de calcul exact très supérieures aux moteurs
QPiRac de la concurrence.
Le projet n'était donc pas d'offrir un moteur inférieur pour satisfaire les conditions d'approbation de la
NumWorks à des examens hors de France. De plus dans ce cas il n'y aurait absolument pas eu besoin de s'embêter à tout recoder ; de simples désactivations supplémentaires d'affichages pour certaines formes d'arbres-résultats auraient suffi.
Donc le nouveau moteur de calcul n'est plus un moteur de calcul exact par arbres, n'est pas davantage un moteur de calcul exact
QPiRac et encore moins tout autre moteur inférieur... et si c'était en interne un moteur de calcul formel
(ou CAS) ?...
Rien ne le prouve, mais si l'on exclut les algorithmes travaillant sur des arbres de calcul ainsi que les algorithmes numériques des moteurs inférieurs, il ne reste plus beaucoup de choix pour le sens du changement...
Un
CAS peut-être donc, mais pour faire quoi, sachant que le moteur précédent permettait déjà du calcul littéral et que cette fonctionnalité était justement désactivée au niveau des résultats ?
C'est là justement que nous n'arrivons plus à voir bien clair, même si nous restons persuadés qu'il se trame quelque chose de gargantuesque. Tentons de ne pas passer à côté de la chose, voici plusieurs pistes en vrac :
- permettre grâce au CAS d'obtenir de meilleurs résultats numériques dans certains cas (même si nous n'avons pas réussi à trouver en dehors des grandes sommes jusqu'à présent)
- permettre de nouveau le calcul littéral et même formel sur calculatrices NumWorks lors d'une mise à jour future
- ou bien à la différence réserver le calcul littéral et formel à un futur modèle graphique haut de gamme qui partagera le même code source
- le moteur CAS pourrait même s'insérer également dans le cadre d'une refonte de la plateforme en ligne, permettant de rattraper le niveau de ce que proposent les concurrents
- viser l'approbation de la NumWorks en Allemagne pour la session 2030 de l'Abitur, le moteur CAS y étant obligatoire (mais il manquerait alors encore une application tableur, tout autant obligatoire)
- ou nuance, anticiper les changements de réglementation à venir dans l'un des pays ayant déjà approuvé la NumWorks, et qui serait tenté de s'inspirer de l'évolution de la réglementation allemande
Les motivations hypothétiques ne manquent pas ; nous avons hâte d'avoir le fin mot de l'histoire.
by 
Son script est une adaptation libre du célèbre jeu des paires, un jeu de cartes également très connu sous le nom de Memory.
Les cartes peuvent ainsi être de 2 types :
